Question

Исследуйте функции на экстремум y=x^3-3x^2

Answer 1

Решение смотри на фотографии

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы нужно найти производные функции и найти точки, где производная равна нулю или не существует. Эти точки будут потенциальными местами нахождения экстремумов. Затем, используя вторую производную, определим характер экстремумов (минимум или максимум).

Дана функция: y = x^3 - 3x^2

1. Найдем первую производную функции (производную от x^3 и от -3x^2):

dy/dx = 3x^2 - 6x

2. Найдем точки, где производная равна нулю:

3x^2 - 6x = 0

Факторизуем:

3x(x - 2) = 0

Таким образом, две критические точки: x = 0 и x = 2.

3. Теперь найдем вторую производную функции:

d^2y/dx^2 = 6x - 6

4. Подставим критические точки во вторую производную:

• Для x = 0: d^2y/dx^2 = 6(0) - 6 = -6
• Для x = 2: d^2y/dx^2 = 6(2) - 6 = 6

5. Анализ второй производной:

• Если d^2y/dx^2 < 0 в критической точке, то это место является максимумом.
• Если d^2y/dx^2 > 0 в критической точке, то это место является минимумом.

6. Соберем всю информацию:

a) x = 0:

• Первая производная: dy/dx = 3(0)^2 - 6(0) = 0
• Вторая производная: d^2y/dx^2 = 6(0) - 6 = -6 (меньше нуля)
• Вывод: x = 0 - это место максимума.

b) x = 2:

• Первая производная: dy/dx = 3(2)^2 - 6(2) = 0
• Вторая производная: d^2y/dx^2 = 6(2) - 6 = 6 (больше нуля)
• Вывод: x = 2 - это место минимума.

Таким образом, функция y = x^3 - 3x^2 имеет максимум при x = 0 и минимум при x = 2.