Question

Исследуйте функцию на монотонность. Исследуйте функцию на экстремум. Найдите интервалы выпуклости и точки перегиба функции. Функция: y= 3x^4 - 6x^2 + 3. ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Шеаллев

Answer 2

Исследование функции на монотонность

Для исследования функции на монотонность, мы должны найти производную функции и проанализировать ее знаки.

Данная функция: y = 3x^4 - 6x^2 + 3.

Для нахождения производной, мы применяем правило дифференцирования для каждого члена функции. Производная функции будет равна:

y' = 12x^3 - 12x.

Теперь мы можем проанализировать знаки производной, чтобы определить монотонность функции.

- Когда производная положительна (y' > 0), функция возрастает. - Когда производная отрицательна (y' < 0), функция убывает.

Давайте найдем точки, где производная равна нулю, чтобы определить возможные экстремумы функции.

12x^3 - 12x = 0.

Мы можем вынести общий множитель:

12x(x^2 - 1) = 0.

Таким образом, у нас есть две точки, где производная равна нулю: x = 0 и x = ±1.

Исследование функции на экстремумы

Теперь, когда мы знаем точки, где производная равна нулю, мы можем исследовать функцию на экстремумы, используя вторую производную.

Для нахождения второй производной, мы дифференцируем производную функции y'.

y'' = 36x^2 - 12.

Теперь мы можем проанализировать знаки второй производной, чтобы определить тип экстремумов функции.

- Когда вторая производная положительна (y'' > 0), у функции есть локальный минимум. - Когда вторая производная отрицательна (y'' < 0), у функции есть локальный максимум.

Давайте подставим найденные точки второй производной, чтобы определить тип экстремумов.

- При x = 0: y''(0) = 36(0)^2 - 12 = -12. Значит, у функции есть локальный максимум при x = 0. - При x = 1: y''(1) = 36(1)^2 - 12 = 24. Значит, у функции есть локальный минимум при x = 1. - При x = -1: y''(-1) = 36(-1)^2 - 12 = 24. Значит, у функции есть локальный минимум при x = -1.

Интервалы выпуклости и точки перегиба функции

Теперь мы можем исследовать функцию на интервалы выпуклости и точки перегиба, используя вторую производную.

- Когда вторая производная положительна (y'' > 0), функция выпукла вверх. - Когда вторая производная отрицательна (y'' < 0), функция выпукла вниз.

Давайте найдем точки, где вторая производная равна нулю, чтобы определить возможные точки перегиба функции.

36x^2 - 12 = 0.

Мы можем вынести общий множитель:

12(3x^2 - 1) = 0.

Таким образом, у нас есть две точки, где вторая производная равна нулю: x = ±√(1/3).

Теперь мы можем проанализировать знаки второй производной на разных интервалах, чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба функции.

- Когда x < -√(1/3), вторая производная положительна (y'' > 0), функция выпукла вверх. - Когда -√(1/3) < x < √(1/3), вторая производная отрицательна (y'' < 0), функция выпукла вниз. - Когда x > √(1/3), вторая производная положительна (y'' > 0), функция выпукла вверх.

Таким образом, у функции есть точки перегиба при x = -√(1/3) и x = √(1/3), и интервалы выпуклости на (-∞, -√(1/3)) и (√(1/3), +∞).

Вывод

Исследовав функцию y = 3x^4 - 6x^2 + 3 на монотонность, экстремумы, интервалы выпуклости и точки перегиба, мы получили следующие результаты:

- Функция возрастает на интервале (-∞, -1) и (1, +∞). - Функция убывает на интервале (-1, 0) и (0, 1). - У функции есть локальный максимум при x = 0 и локальные минимумы при x = ±1. - Функция выпукла вверх на интервалах (-∞, -√(1/3)) и (√(1/3), +∞), и выпукла вниз на интервале (-√(1/3), √(1/3)). - У функции есть точки перегиба при x = -√(1/3) и x = √(1/3).

Надеюсь, эта информация была полезной! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.