Question

Y=x^4+x^2-2/x^2-1 , постройте график функции

Answer 1

Анализ функции, её график приведены в приложении.

Answer 2

Для построения графика функции Y = x^4 + x^2 - 2 / (x^2 - 1) сначала нужно определить её область определения. Функция будет неопределенной в тех точках, где знаменатель равен нулю, то есть когда x^2 - 1 = 0. Решим это уравнение:

x^2 - 1 = 0 x^2 = 1 x = ±√1 x = ±1

Таким образом, функция не определена при x = -1 и x = 1.

Теперь рассмотрим поведение функции на интервалах между точками разрыва и за пределами них.

1. Когда x < -1: На этом интервале области определения знаменатель x^2 - 1 будет отрицательным, и функция определена. Построим график на этом интервале:

• Подставим x = -2 (меньше -1) для поиска Y: Y = (-2)^4 + (-2)^2 - 2 / ((-2)^2 - 1) Y = 16 + 4 - 2 / (4 - 1) Y = 18 / 3 Y = 6

• Подставим x = -3 (меньше -1) для поиска Y: Y = (-3)^4 + (-3)^2 - 2 / ((-3)^2 - 1) Y = 81 + 9 - 2 / (9 - 1) Y = 88 / 8 Y = 11

Мы видим, что функция возрастает на этом интервале.

2. Когда -1 < x < 1: На этом интервале знаменатель x^2 - 1 будет положительным, и функция определена. Построим график на этом интервале:

• Подставим x = 0 для поиска Y: Y = 0^4 + 0^2 - 2 / (0^2 - 1) Y = -2 / (-1) Y = 2

• Подставим x = 0.5 (положительное значение между -1 и 1) для поиска Y: Y = (0.5)^4 + (0.5)^2 - 2 / ((0.5)^2 - 1) Y = 0.0625 + 0.25 - 2 / (0.25 - 1) Y = -1.6875

Мы видим, что функция убывает на этом интервале.

3. Когда x > 1: На этом интервале области определения знаменатель x^2 - 1 будет снова отрицательным, и функция определена. Построим график на этом интервале:

• Подставим x = 2 (больше 1) для поиска Y: Y = 2^4 + 2^2 - 2 / (2^2 - 1) Y = 16 + 4 - 2 / (4 - 1) Y = 18 / 3 Y = 6

• Подставим x = 3 (больше 1) для поиска Y: Y = 3^4 + 3^2 - 2 / (3^2 - 1) Y = 81 + 9 - 2 / (9 - 1) Y = 88 / 8 Y = 11

Мы видим, что функция возрастает и на этом интервале.

Теперь, имея значения на различных интервалах и точках разрыва, построим график функции:

На графике видно, что функция имеет горизонтальные асимптоты при x = -1 и x = 1, а также имеет локальный минимум в точке (0, 2). В остальных областях она возрастает.