Question

Исследуйте функцию и постройте её график y=x^3-3x^2

Answer 1

Решение приведено в приложении.

Answer 2

Для исследования функции y = x^3 - 3x^2 и построения её графика выполним следующие шаги:

1. Найдем производные функции для анализа поведения функции.
2. Определим точки экстремумов и интервалы возрастания/убывания.
3. Найдем точки пересечения с осями координат.
4. Найдем точки перегиба функции.
5. Построим график функции.

Шаг 1: Найдем производные функции. Для функции y = x^3 - 3x^2 найдем ее первую и вторую производные:

Первая производная (по правилу дифференцирования степенной функции): y' = 3x^2 - 6x

Вторая производная: y'' = 6x - 6

Шаг 2: Найдем точки экстремумов и интервалы возрастания/убывания. Точки экстремумов соответствуют значениям x, при которых производная равна нулю: 3x^2 - 6x = 0 Вынесем общий множитель 3x: 3x(x - 2) = 0 Таким образом, получаем две точки: x = 0 и x = 2.

Теперь определим интервалы возрастания и убывания, используя знак производной: Для x < 0: Выберем тестовое значение x = -1 (любое число меньше 0): y'(-1) = 3*(-1)^2 - 6*(-1) = 3 + 6 = 9 (положительное число, значит, функция возрастает).

Для 0 < x < 2: Выберем тестовое значение x = 1 (любое число между 0 и 2): y'(1) = 31^2 - 61 = 3 - 6 = -3 (отрицательное число, значит, функция убывает).

Для x > 2: Выберем тестовое значение x = 3 (любое число больше 2): y'(3) = 33^2 - 63 = 27 - 18 = 9 (положительное число, значит, функция возрастает).

Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, 0) и (2, +∞), и убывает на интервале (0, 2).

Шаг 3: Найдем точки пересечения с осями координат. Для точки пересечения с осью OX (y = 0): x^3 - 3x^2 = 0 Вынесем общий множитель x^2: x^2(x - 3) = 0 Получаем две точки: x = 0 и x = 3.

Для точки пересечения с осью OY (x = 0): y = 0^3 - 3*0^2 = 0.

Таким образом, точки пересечения с осями координат: (0, 0) и (3, 0).

Шаг 4: Найдем точки перегиба функции. Точки перегиба соответствуют значениям x, при которых вторая производная равна нулю: 6x - 6 = 0 Вынесем общий множитель 6: 6(x - 1) = 0 Получаем точку x = 1.

Шаг 5: Построим график функции.

Для построения графика, учтем все полученные данные:

1. Точки экстремумов: (0, 0) и (2, -4)
2. Точка пересечения с осью OX: (3, 0)
3. Точка перегиба: (1, -2)

Теперь нарисуем график функции y = x^3 - 3x^2:

На графике видно, что функция имеет локальный максимум в точке (0, 0) и локальный минимум в точке (2, -4). В точке (1, -2) происходит перегиб функции. Также функция пересекает ось OX в точке (3, 0).