Question

Как найти sin(pi/8) через формулы приведения?

Answer 1

Можно найти через формулу понижения степени:

$sin^2(\frac{x}{2})=\frac{1-cos(x)}{2}\\\\ sin(\frac{x}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}}$

у нас  $x=\frac{\pi}{4}$ и  $\frac{x}{2}=\frac{\pi}{8}$ - уголы первой четверти, для которых значеня синуса положительны, поэтому:

$sin(\frac{\pi}{8})=\sqrt{\frac{1-cos(\frac{\pi}{4})}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

Answer 2

Чтобы найти значение sin(pi/8) с использованием формул приведения, мы будем использовать угловую формулу для синуса угла суммы.

Формула для синуса угла суммы звучит следующим образом: sin(A + B) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B).

Мы хотим найти sin(pi/8), что представляет собой сумму двух углов: pi/8 = pi/4 + (-pi/8).

Теперь нам понадобятся значения синусов и косинусов для углов pi/4 и -pi/8:

sin(pi/4) = sqrt(2)/2 cos(pi/4) = sqrt(2)/2 sin(-pi/8) = -sin(pi/8) (синус - унётри угла равен минус синусу угла)

Теперь подставим все значения в формулу синуса угла суммы:

sin(pi/8) = sin(pi/4 + (-pi/8)) = sin(pi/4) * cos(-pi/8) + cos(pi/4) * sin(-pi/8) = (sqrt(2)/2) * cos(pi/8) + (sqrt(2)/2) * (-sin(pi/8))

Теперь перенесем все, что содержит sin(pi/8), на одну сторону уравнения:

sin(pi/8) + (sqrt(2)/2) * sin(pi/8) = (sqrt(2)/2) * cos(pi/8)

Теперь вынесем sin(pi/8) за скобку:

sin(pi/8) * (1 + sqrt(2)/2) = (sqrt(2)/2) * cos(pi/8)

И, наконец, выразим sin(pi/8):

sin(pi/8) = (sqrt(2)/2) * cos(pi/8) / (1 + sqrt(2)/2)

Теперь остается только найти значение cos(pi/8). Для этого можно воспользоваться формулой приведения для косинуса: cos(2A) = 2 * cos^2(A) - 1.

В нашем случае A = pi/8:

cos(pi/4) = cos^2(pi/8) - sin^2(pi/8).

Мы знаем значения sin(pi/8) и sin(pi/4) (их мы нашли ранее):

sin(pi/8) = (sqrt(2)/2) * cos(pi/8) / (1 + sqrt(2)/2).

sin(pi/4) = sqrt(2)/2.

Подставим значения sin(pi/8) и sin(pi/4) в уравнение:

cos(pi/4) = cos^2(pi/8) - sin^2(pi/8) sqrt(2)/2 = (cos(pi/8))^2 - ((sqrt(2)/2) * cos(pi/8) / (1 + sqrt(2)/2))^2.

Теперь давайте обозначим cos(pi/8) как x и решим уравнение:

sqrt(2)/2 = x^2 - (sqrt(2)/2 * x / (1 + sqrt(2)/2))^2 sqrt(2)/2 = x^2 - (2 * x^2 / (2 + sqrt(2)))^2 sqrt(2)/2 = x^2 - (2 * x^2 / (2 + sqrt(2)))^2 sqrt(2)/2 = x^2 - (4 * x^2 / (4 + 2 * sqrt(2) + 2))^2 sqrt(2)/2 = x^2 - (4 * x^2 / (6 + 2 * sqrt(2)))^2 sqrt(2)/2 = x^2 - (2 * x^2 / (3 + sqrt(2)))^2 sqrt(2)/2 = x^2 - (4 * x^4 / (9 + 6 * sqrt(2) + 2))^2 sqrt(2)/2 = x^2 - (4 * x^4 / (11 + 6 * sqrt(2)))^2 sqrt(2)/2 = x^2 - (2 * x^4 / (11 + 3 * sqrt(2)))^2 sqrt(2)/2 = (11 * x^4 - 6 * sqrt(2) * x^4) / (11 + 3 * sqrt(2)))^2 (sqrt(2)/2) * (11 + 3 * sqrt(2)) = 11 * x^4 - 6 * sqrt(2) * x^4 sqrt(2) * (11 + 3 * sqrt(2)) = 11 * x^4 - 6 * sqrt(2) * x^4 sqrt(2) * 11 + 3 * 2 = (11 - 6) * x^4 sqrt(2) * 11 + 6 = 5 * x^4 x^4 = (sqrt(2) * 11 + 6) / 5 x^4 = (11 * sqrt(2) + 6) / 5 x = sqrt((11 * sqrt(2) + 6) / 5).

Теперь, когда у нас есть значение x, можем вернуться к выражению для sin(pi/8):

sin(pi/8) = (sqrt(2)/2) * cos(pi/8) / (1 + sqrt(2)/2) sin(pi/8) = (sqrt(2)/2) * sqrt((11 * sqrt(2) + 6) / 5) / (1 + sqrt(2)/2).

Наконец, можно упростить это выражение, учитывая, что sqrt(2)/2 равно 1 / sqrt(2):

sin(pi/8) = (1 / sqrt(2)) * sqrt((11 * sqrt(2) + 6) / 5) / (1 + sqrt(2)/2) sin(pi/8) = sqrt((11 * sqrt(2) + 6) / (10 + 5 * sqrt(2))).