Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: x-2y+4=0, 3x+2y-12=0, y=0

Answer 1

Для построения изображения фигуры выразим у через х:
1) x-2y+4=0 ⇒ у=0,5х+2 - прямая
2) 3x+2y-12=0 ⇒ у=-1,5х+6 - прямая
Найдем абсциссу точки пересечения этих прямых:
0,5х+2=-1,5х+6
2х=4
х=2
Найдем абсциссы точек пересечения каждой прямой с линией у=0:
1) 0,5х+2=0 ⇒ х=-4
2) -1,5х+6=0 ⇒ х=4
Строим линии и красим полученную фигуру (рисунок во вложении).
Вычисляем площадь треугольника АВС: $S=S_{ABH}+S_{BHC}=\int\limits_{-4}^{2}(0,5x+2)}dx +\int\limits_{2}^{4}(-1,5x+6)}dx =\\ =( \frac{x^2}{4} +2x) \big |_{-4}^2 + (- \frac{3x^2}{4} +6x) \big |_{2}^4=\\ = ( 1+4)-(4-8)+(-12+24)-(-3+12)= 12$
Ответ: 12
P.S. Как можно заметить по чертежу, площадь треугольника равна половине произведения высоты (равной 3) и стороны (равной 8), т.е. 0,5·3·8=12.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно сначала найти точки их пересечения и затем построить многоугольник, образованный этими точками.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения линий. Решим систему уравнений:

1. x - 2y + 4 = 0
2. 3x + 2y - 12 = 0
3. y = 0

Для начала, используем уравнение 3, чтобы найти значение x при y = 0:

1. x - 2 * 0 + 4 = 0
2. 3x + 2 * 0 - 12 = 0

Из уравнения 1 получим: x = 4

Из уравнения 2 получим: 3x - 12 = 0 3x = 12 x = 4

Таким образом, получаем две точки пересечения: A(4, 0) и B(4, 0).

Теперь найдем точку пересечения первых двух линий. Решим систему уравнений:

1. x - 2y + 4 = 0
2. 3x + 2y - 12 = 0

Можно решить эту систему, сложив оба уравнения:

(x - 2y + 4) + (3x + 2y - 12) = 0 4x - 8 = 0 4x = 8 x = 2

Теперь найдем y, используя значение x:

2 - 2y + 4 = 0 -2y + 6 = 0 -2y = -6 y = 3

Таким образом, вторая точка пересечения равна C(2, 3).

Теперь у нас есть три точки: A(4, 0), B(4, 0) и C(2, 3). Давайте построим многоугольник, образованный этими точками, и вычислим его площадь.

Многоугольник ABC - треугольник. Можно использовать формулу для вычисления площади треугольника по его координатам:

Площадь = |(x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2)) / 2|

Подставим координаты точек и вычислим площадь:

Площадь = |(4 * (0 - 3) + 4 * (3 - 0) + 2 * (0 - 0)) / 2| Площадь = |(-12 + 12) / 2| Площадь = |0|

Площадь треугольника ABC равна 0.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями x-2y+4=0, 3x+2y-12=0 и y=0, равна 0.