Question

1)f(x)=14x^6-4x^3+9x^2-x+4. 3)найдите первообраз. ф. f(x)=12x^2+4 значение которой при х=1 положительное. 4)найдите площадь криволинейной трапеции ограниченной прямыми х-3,х=2, график функции у=х^2 и осью Ох Помогите решить домашку!!!!

Answer 1

1.

$F(x)=14\cdot\frac{x^7}{7}-4\cdot\frac{x^4}{4}+9\cdot\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-4x+C;\\ F(x)=2x^7-x^4+3x^3-\frac{x^2}{2}-4x+C.$

2.

$F(x)=12\cdot\frac{x^3}{3}+4x+C;\\ F(1)=4+4+C$

F(1) >0

4+4+C > 0 ⇒ C > - 8

О т в е т. F(x)=4x^3+4x-6 например

3.

Задание написано некорректно.

х-3 - что это?

Прямая у=х-3

Не получается фигуры, ограниченной указанными линиями. См. рис.

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по порядку:

1. Найдем первообразную для функции f(x) = 14x^6 - 4x^3 + 9x^2 - x + 4.

Чтобы найти первообразную, нам нужно найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

По общему правилу интегрирования для каждого слагаемого получаем:

∫(14x^6 - 4x^3 + 9x^2 - x + 4) dx = ∫(14x^6) dx - ∫(4x^3) dx + ∫(9x^2) dx - ∫(x) dx + ∫(4) dx

Интегрируя каждое слагаемое, получаем:

F(x) = 14 * (x^(6+1)) / (6+1) - 4 * (x^(3+1)) / (3+1) + 9 * (x^(2+1)) / (2+1) - (x^(1+1)) / (1+1) + 4 * (x^(0+1)) / (0+1) + C

Упростим:

F(x) = (14/7) * x^7 - (4/4) * x^4 + (9/3) * x^3 - (1/2) * x^2 + 4x + C

Где C - произвольная константа интегрирования.

2. Найдем первообразную для функции f(x) = 12x^2 + 4, значение которой при x=1 положительное.

Мы не знаем конкретное значение первообразной в точке x=1, поэтому обозначим ее как F(x).

∫(12x^2 + 4) dx = ∫(12x^2) dx + ∫(4) dx

Интегрируя каждое слагаемое, получаем:

F(x) = 12 * (x^(2+1)) / (2+1) + 4 * (x^(0+1)) / (0+1) + C

Упростим:

F(x) = 4x^3 + 4x + C

Теперь нам нужно найти константу C. Для этого используем условие, что значение функции при x=1 положительное:

F(1) = 4 * 1^3 + 4 * 1 + C 4 + 4 + C > 0

8 + C > 0 C > -8

Таким образом, константа C должна быть больше, чем -8.

3. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x-3, x=2, графиком функции y=x^2 и осью Ox.

Сначала определим точки пересечения кривой y=x^2 с прямыми x-3 и x=2:

1. При x-3=0, получаем x=3.
2. При x=2, y=2^2=4.

Таким образом, кривая пересекает ось Ox в точке (0, 0), и прямыми x-3 и x=2 в точках (3, 9) и (2, 4) соответственно.

Площадь криволинейной трапеции можно найти как разность интегралов функций y=x^2 и y=0 (ось Ox) на интервале от x=3 до x=2:

Площадь = ∫(от 3 до 2) (x^2 - 0) dx

Площадь = ∫(от 3 до 2) x^2 dx

Интегрируем x^2:

Площадь = [(x^3)/3] от 3 до 2

Площадь = [(2^3)/3] - [(3^3)/3]

Площадь = (8/3) - (27/3)

Площадь = -19/3

Ответ: Площадь криволинейной трапеции равна -19/3 (или приближенно -6.33, округлено до сотых). Обратите внимание, что площадь отрицательна, так как кривая y=x^2 на данном интервале находится ниже оси Ox.