Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2+3x,x=0,x=1,y=0

Answer 1

Y=x^2+3x, x=0, x=1, y=0   S-?
S=₀∫₁(x²+3x-0)dx=(x³/3+3x²/2) ₀|¹=1³/3+3*1²/2=1/3+3/2=11/6.
Ответ: S≈1,833 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, мы должны найти интеграл функции, описывающей эту фигуру, от нижней границы до верхней границы.

Сначала найдем точки пересечения кривой y = x^2 + 3x с осями x и y:

1. Точки пересечения с осью x (положение, где y = 0): 0 = x^2 + 3x x(x + 3) = 0 x = 0 или x = -3

Точка x = -3 нас не интересует, так как она не входит в интервал, заданный условиями задачи.

2. Точки пересечения с осью y (положение, где x = 0): y = 0^2 + 3 * 0 = 0

Теперь нам известны точки пересечения графика с осями x и y:

A(0, 0) - точка пересечения с осью y B(1, 4) - точка пересечения с кривой

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры между кривой и осями x, используя интеграл:

Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - это границы от точки пересечения с осью x до точки пересечения с кривой, f(x) - это верхняя граница (y = x^2 + 3x), а g(x) - нижняя граница (y = 0).

Теперь вычислим интеграл:

Площадь = ∫[0, 1] (x^2 + 3x - 0) dx Площадь = ∫[0, 1] (x^2 + 3x) dx

Интегрируем по x:

Площадь = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 |[0, 1] Площадь = [(1/3)(1)^3 + (3/2)(1)^2] - [(1/3)(0)^3 + (3/2)(0)^2] Площадь = (1/3) + (3/2) - 0 Площадь = 1/3 + 3/2 Площадь = 5/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 3x, x = 0, x = 1, и y = 0, равна 5/6 квадратных единиц.