Question

(1) Найдите первоначальную функции f(x),график которой проходит через точку M0: f(x)=7/х, М0 (1;0) (2)Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями: y=4-x²,y=x²-4. Помогите очень прошу)

Answer 1

Вот решение сразу обеих задач.

Answer 2

(1) Найдите первоначальную функцию f(x), график которой проходит через точку M0: f(x) = 7/x, M0(1; 0).

Чтобы найти первоначальную функцию, нам нужно найти интеграл функции f(x). Для этого выполним обратную операцию от дифференцирования:

Интеграл f(x) dx = ∫(7/x) dx.

Интегрируем функцию по переменной x:

∫(7/x) dx = 7∫(1/x) dx.

Интеграл 1/x это логарифм натурального абсолютного значения переменной x:

7∫(1/x) dx = 7 ln|x| + C,

где C - постоянная интегрирования.

Теперь, так как график функции проходит через точку M0(1; 0), подставим значения x и y в уравнение:

0 = 7 ln|1| + C, 0 = 0 + C, C = 0.

Таким образом, первоначальная функция f(x), проходящая через точку M0(1; 0), равна:

f(x) = 7 ln|x|.

(2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x² и y = x² - 4.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения и определить пределы интегрирования по оси x. Точки пересечения кривых найдем, приравняв их уравнения:

4 - x² = x² - 4.

Теперь решим уравнение:

2x² = 8, x² = 4, x = ±2.

Таким образом, кривые пересекаются в точках (-2, 0) и (2, 0).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, выполним следующий интеграл:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя кривая - нижняя кривая) dx,

где a и b - точки пересечения кривых (-2 и 2 в данном случае).

Подставим уравнения кривых в формулу:

Площадь = ∫[-2, 2] [(4 - x²) - (x² - 4)] dx = ∫[-2, 2] (8 - 2x²) dx.

Теперь проинтегрируем по переменной x:

Площадь = [8x - (2x³)/3] | от -2 до 2, = [8(2) - (2(2)³)/3] - [8(-2) - (2(-2)³)/3], = (16 - 16/3) - (-16 + 16/3), = (48 - 16) / 3, = 32 / 3.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной кривыми y = 4 - x² и y = x² - 4 равна 32/3 или приближенно 10.67 квадратных единицы.