Question

Вычислить интегралы J(5x+sin3x)dx

Answer 1

∫(5x+sin3x)dx=∫5xdx+∫sin3xdx=5∫xdx-(cos3x)/3=(5x²/2)-(cos3x)/3 + c


( ∫sinxdx=-cosx+c, ∫sinaxdx=-(cosax)/a)
∫sin3xdx=∫(sintdt)/3=-cost/3=(-cos3x)/3 +c
3x=t, 3dx=dt, dx=dt/3

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫J(5x + sin(3x)) dx, где J(t) - интеграл от sin(t)/t dt, мы сначала найдем J(5x + sin(3x)), а затем проинтегрируем полученное выражение.

1. Вычисление J(5x + sin(3x)): J(t) = ∫(sin(t)/t) dt Поскольку нет элементарной функции, представляющей J(t), мы предположим, что данная функция J(t) является специальной функцией, называемой Sine Integral (или интеграл синуса). J(t) = Si(t) + C, где Si(t) - Sine Integral, а C - произвольная постоянная.

2. Теперь вычислим интеграл ∫J(5x + sin(3x)) dx: Заменяем t на (5x + sin(3x)): ∫J(5x + sin(3x)) dx = ∫Si(5x + sin(3x)) dx + C Так как в данном случае Si(5x + sin(3x)) является функцией, не имеющей элементарного аналитического выражения, интеграл тоже не может быть выражен в виде элементарных функций.

Таким образом, ответ на интеграл ∫J(5x + sin(3x)) dx будет иметь вид: ∫J(5x + sin(3x)) dx = Si(5x + sin(3x)) + C, где Si(t) - интеграл синуса (Sine Integral), а C - произвольная постоянная.