Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=2х^3+3х^2+2 на отрезке [-2;0]

Answer 1

Дана функция у=2х³ + 3х² + 2.

Её производная равна:
y' = 6x² + 6x = 6x(x + 1).
Приравняв производную нулю, находим 2 критические точки:
х = 0  и х = -1.
Тем самым мы определили 3 промежутка монотонности функции:
(-∞; -1), (-1; 0) и (0; +∞).

Находим знаки производной на этих промежутках.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x =   -2      -1       -0,5        0         1
y' = 12       0        -1,5        0        12.

Как видим, максимум функции в точке х = -1, минимум в точке  х = 0.
Найдём значения функции в этих точках и на границах заданного промежутка.

x =     -2      -1     -0,5     0
y =     -2       3      2,5      2.

Ответ: наибольшее и наименьшее значение функции у=2х^3+3х^2+2 на отрезке [-2;0] равны 3 и -2.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции у = 2х^3 + 3х^2 + 2 на отрезке [-2; 0], нужно проанализировать значения функции в крайних точках отрезка и в стационарных точках, если они есть (то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует).

1. Крайние точки отрезка:

   • x = -2
   • x = 0

2. Стационарные точки: Для нахождения стационарных точек, найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y = 2x^3 + 3x^2 + 2 y' = 6x^2 + 6x

   Приравниваем производную к нулю и решим уравнение: 6x^2 + 6x = 0 6x(x + 1) = 0

   Получаем два значения x: x = 0 x = -1

3. Оценка значений функции:

   • Подставим найденные крайние точки и стационарные точки в функцию для получения соответствующих значений y.
   • Сравним полученные значения и выберем наибольшее и наименьшее из них.

Вычислим значения функции:

1. Подставим x = -2: y = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 2 y = -16 + 12 + 2 y = -2

2. Подставим x = 0: y = 2(0)^3 + 3(0)^2 + 2 y = 2

3. Подставим x = -1 (стационарная точка): y = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 2 y = -2 + 3 + 2 y = 3

Таким образом, на отрезке [-2; 0] наибольшее значение функции равно 3 (достигается при x = -1), а наименьшее значение равно -2 (достигается при x = -2).