Question

Решить систему способом Гаусса: 2x1 + 2x2 - x3 + x4 = 4, 4x1 + 3x2 - x3 + 2x4 = 6, 8x1 + 5x2 - 3x3 + 4x4 = 12, 3x1 + 3x2 - 2x3 + 2x4 = 6.

Answer 1

2x1+2x2-x3+x4=4,

-x2+x3=-2,

-3x2+x3=-4,

-0,5x3+0,5x4=0.

2x1+2x2-x3+x4=4,

-x2+x3=-2,

-2x3=2,

x3=x4.

2x1+2x2-x3+x4=4,

-x2+x3=-2,

x3=-1,

x4=-1.

2x1+2x2-x3+x4=4,

x2=1,

x3=-1,

x4=-1.

x1=1,

x2=1,

x3=-1,

x4=-1.

Answer 2

Для решения данной системы уравнений методом Гаусса, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Записать расширенную матрицу системы (матрицу коэффициентов и столбец свободных членов):

cssCopy code
[ 2  2  -1  1  |  4 ]
[ 4  3  -1  2  |  6 ]
[ 8  5  -3  4  | 12 ]
[ 3  3  -2  2  |  6 ]

Шаг 2: Привести матрицу к треугольному виду (используя элементарные преобразования строк): Из 2-го уравнения вычтем 2 раза 1-ое уравнение:

cssCopy code
[ 2   2   -1    1  |  4 ]
[ 0  -1    1    0  | -2 ]
[ 8   5   -3    4  | 12 ]
[ 3   3   -2    2  |  6 ]

Из 3-го уравнения вычтем 4 раза 1-ое уравнение и вычтем 3 раза 2-ое уравнение:

cssCopy code
[ 2   2   -1    1  |  4 ]
[ 0  -1    1    0  | -2 ]
[ 0   1   -1    0  | -4 ]
[ 0  -3    1   -1  | -6 ]

Из 4-го уравнения вычтем 1 раз 1-ое уравнение и вычтем 3 раза 2-ое уравнение:

cssCopy code
[ 2   2   -1    1  |  4 ]
[ 0  -1    1    0  | -2 ]
[ 0   1   -1    0  | -4 ]
[ 0   0   -2   -1  |  0 ]

Шаг 3: Обратный ход метода Гаусса.

diffCopy code
x4 = 2
-2x3 - x4 = 0 => -2x3 - 2 = 0 => x3 = -1
-x2 + x3 = -2 => -x2 - 1 = -2 => x2 = 1
2x1 + 2x2 - x3 + x4 = 4 => 2x1 + 2 - 1 + 2 = 4 => 2x1 = 1 => x1 = 1/2

Ответ: x1 = 1/2, x2 = 1, x3 = -1, x4 = 2.