Question

Напишите уравнение касательной к параболе y=x^2, проходящей через точку A(2;3).

Answer 1

У'=2*х, у=2*х0*х - уравнение касательной. При х=2 и у=3: 3=2*х0*2; х0=3/4=0,75.
Уравнение: у=2*0,75х; у=1,5х.

Answer 2

y = f(x₀) + f'(x₀)*(x - x₀) -- уравнение касательной

f'(x) = 2x

f'(x₀) = 2x₀

y = x₀² + 2x₀*(x - x₀) = x₀² + 2x*x₀ - 2x₀² = 2x*x₀ - x₀²

Т.к. касательная проходит через точку (2; 3), подставим её:

2*2*x₀ - x₀² = 3

x₀² - 4x₀ + 3 =0

D = 16 - 4*3 = 4

x₀ = (4+2)/2 = 3, x₀ = (4-2)/2 = 1

Получается 2 касательных:

y = 6x - 9

y = 2x - 1

Answer 3

Для того чтобы найти уравнение касательной к параболе y = x^2, проходящей через точку A(2, 3), нам понадобится использовать производную функции y = x^2.

Шаги решения:

1. Найдем производную функции y = x^2. Производная параболы y = x^2 равна 2x.

2. Подставим значение x = 2 (координата x точки A) в выражение 2x, чтобы найти значение производной в точке A: y'(2) = 2 * 2 = 4

3. Так как касательная линия имеет тот же угловой коэффициент, что и производная функции y = x^2 в точке касания, уравнение касательной будет иметь вид: y - y₁ = m(x - x₁)

   где (x₁, y₁) - координаты точки касания, m - угловой коэффициент.

4. Подставим известные значения: (x₁, y₁) = (2, 3), m = 4

Теперь составим уравнение касательной:

y - 3 = 4(x - 2)

Раскроем скобки:

y - 3 = 4x - 8

Теперь приведем уравнение к виду y = ...

y = 4x - 8 + 3

y = 4x - 5

Итак, уравнение касательной к параболе y = x^2, проходящей через точку A(2, 3), равно y = 4x - 5.