Question

В трапеции ABSD (AD параллельно BC) диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу, AC=5 и BD=13. Найти расстояние между серединами оснований

Answer 1

1) Осуществим дополнительное построение:

Проведём отрезок СЕ параллельно диагонали ВD => AC перпендикулярен СЕ

Проведём отрезок СК параллельно отрезку МN

Из этого следует, что четырёхугольник ВСЕD - параллелограмм ( СЕ || ВD , BC || DE ).
Aналогично, четырёхугольник МСКN - параллелограмм ( CK || MN, МС || KN )

Поэтому, BC = DE , MC = NK, BD = CE = 13

AE = AD + DE = AD + BC

AK = AN + NK = 1/2 × AD + 1/2 × BC = 1/2 × ( ВС + AD )

Значит, K - середина отрезка АЕ , АК = КЕ

Поэтому, МN = CK - медиана в ∆ АСЕ

2) Рассмотрим ∆ АСЕ ( угол АСЕ = 90° ):

" В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы "

По теореме Пифагора:

AE² = 13² + 5² = 169 + 25 = 194

AE = √194

Значит, искомый отрезок MN, равный отрезку СК, имеет длину:

СК = MN = 1/2 × AE = 1/2 × √194 = √194 / 2


ОТВЕТ: √194/2

Answer 2

Пусть M и N - середины оснований AB и CD соответственно, то есть AM = MB и CN = ND.

Для начала, найдем длину диагонали ACB с помощью теоремы Пифагора в треугольнике ABC: ACB^2 = AC^2 + BC^2 ACB^2 = 5^2 + (AD + DC)^2 ACB^2 = 25 + (AD + DC)^2

Теперь рассмотрим треугольник ABD и воспользуемся теоремой Пифагора: ABD^2 = AD^2 + BD^2 ABD^2 = AD^2 + 13^2

Так как диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу, то их произведение равно нулю: ACB * ABD = 0 (25 + (AD + DC)^2) * (AD^2 + 13^2) = 0

Это уравнение можно разрешить относительно (AD + DC)^2 и получить два возможных значения, но одно из них будет отрицательным и, следовательно, не имеет смысла в данной задаче. Поэтому возьмем только положительное значение:

(AD + DC)^2 = 0 AD + DC = 0 AD = -DC

Теперь, обратимся к треугольнику ABC и найдем длину DC с использованием полученного значения AD:

ACB^2 = 25 + (AD + DC)^2 25 = 25 + (AD + DC)^2 (AD + DC)^2 = 0 AD + DC = 0

Таким образом, AD = DC = 0. Значит, треугольник ABC является прямоугольным и превращается в прямоугольный треугольник ABN, где AB = 13 и BN = 5.

Теперь, чтобы найти расстояние между серединами оснований MN, воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ABN:

MN^2 = AM^2 + BN^2 MN^2 = (1/2 * AB)^2 + (1/2 * BC)^2 MN^2 = (1/2 * 13)^2 + (1/2 * 5)^2 MN^2 = 6.5^2 + 2.5^2 MN^2 = 42.25 + 6.25 MN^2 = 48.5

Таким образом, расстояние между серединами оснований MN равно:

MN = √48.5 ≈ 6.97 (округляем до двух знаков после запятой).

Итак, расстояние между серединами оснований трапеции ABSD равно примерно 6.97.