Question

В треугольнике АВС уравнение стороны АВ=у=х-1 , а уравнение стороны АС у= -х+3 Точка Д (6,3) лежит на стороне ВС. дано ВД:ДС=1:3 1)Найти уравнение описанной вокруг треугольника АВС окружности 2) Точка Д(6,3) находится на параболе У в квадрате = 2рх. Прямая , касательная к параболе в точке Д , встречается в точке Ф с прямой , проходящей через С, так,что ФД=ФС. Найти площадь треугольника ФДС

Answer 1

1)

Координаты точки

B(x(b), x(b-1))

C(x(c), -x(c)+3)

Так как D лежит на BC то по уравнению прямой

(6-x(b))/(x(c)-x(b)) = (4-x(b))/(4-x(b)-x(c))

(BD/CD)^2 = ((x(b)-6)^2+(x(b)-4)^2)/((x(c)-6)^2+x(c)^2) = 1/9

Решение системы

(x(b),x(c)) = (4,0) (6,6)

Значит B(4,3) и C(0,3) или B(6,5) и C(6,-3)

Так как точка D находится на стороне, а не не луче BC то подходит B(6,5) и C(6,-3)

x-1=3-x откуда x=2 y=1 и A(2,1)

Треуголник прямоугольный, значит центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, откуда O(6,1) R=4

(x-6)^2+(y-1)^2=16

2)

D лежит на параболе , тогда 9=2*p*6 или p=3/4

Касателтная к параболе имеет вид y*y(D) = p(x+x(D))

Откуда касательная y=(x+6)/4

F(x(d) , (x(d)+6)/4)

Так как FD=FC и D(6,3) C(6,-3)

То FC тоже касательная откуда F(-6,0)

Тогда высота от точки F то прямой DC , h=12 , S=CD*h/2 = 12*6/2 = 36

Answer 2

1. Найдем координаты вершин треугольника АВС. Из уравнений сторон АВ и АС получим:

y=x-1 \\ y=-x+3 \end{cases}$$ Решив систему уравнений, найдем координаты точек А и С: $$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases} \text{и} \begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$$ Точка В имеет координаты (х-1, 0), так как она лежит на оси Ох и на расстоянии х-1 от оси Oy. Найдем координаты точки В: $$\begin{cases} x-1=u \\ u=x-2 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=3 \\ u=1 \\ y=0 \end{cases}$$ Теперь найдем радиус описанной окружности. Он равен половине диагонали треугольника АВС, которую можно найти по теореме Пифагора: $$AC=\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}=\sqrt{(2-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{2}$$ Тогда радиус описанной окружности равен половине диагонали, то есть $R=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Уравнение окружности с центром в точке (x0, y0) и радиусом R имеет вид: $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$$ Подставляем значения и получаем уравнение окружности: $$(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$$ 2) Уравнение параболы, проходящей через точку Д и с вершиной на оси Оy, имеет вид: $$y=a(x-6)^2+3$$ Так как точка Д лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: $$3=a(6-6)^2+3 \Rightarrow a=\frac{1}{36}$$ Тогда уравнение параболы имеет вид: $$y=\frac{1}{36}(x-6)^2+3$$ Найдем производную этой функции: $$y'=\frac{1}{18}(x-6)$$ Так как прямая, проходящая через точки Д(6,3) и С(1,2), имеет уравнение: $$\frac{y-3}{x-6}=\frac{2-3}{1-6}=\frac{1}{5}$$ то уравнение касательной в точке Д имеет вид: $$y-3=\frac{1}{5}(x-