Question

Прошу помочь Упростите выражение 2sin(pi/2+a)*cos(2pi+a)+cos(3pi/2-a)*sin(a-3pi)+sin^2

Answer 1

Полагаю, что в последнем потеряно альфа.

$2\sin(\frac{\pi}{2} +\alpha )\cos(2\pi +\alpha )+\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha )\sin(\alpha -3\pi )+\sin^2\alpha =\\ \\ =2\cos\alpha \cos\alpha +(-\sin\alpha )(-\sin \alpha )+\sin^2\alpha =2\cos^2\alpha +\sin^2\alpha +\sin^2\alpha =\\ \\ =2\cos^2\alpha +2\sin^2\alpha =2(\underbrace{\cos^2\alpha +\sin^2\alpha }_{=1})=2\cdot 1=2$

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами. Начнем с упрощения отдельных слагаемых:

1. Используем тождество синуса двойного угла: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ).
2. Также воспользуемся тождеством cos(θ) = sin(π/2 - θ).

Теперь упростим выражение:

1. 2sin(π/2 + a) * cos(2π + a) = 2sin(π/2 + a) * cos(2π) * cos(a) - 2sin(π/2 + a) * sin(2π) * sin(a). Здесь считаем, что sin(2π) = 0 и cos(2π) = 1. 2sin(π/2 + a) * cos(a) - 2sin(π/2 + a) * 0 * sin(a) = 2sin(π/2 + a) * cos(a).

2. cos(3π/2 - a) * sin(a - 3π) = cos(3π/2 - a) * sin(a) * cos(3π) - cos(3π/2 - a) * cos(a) * sin(3π). Здесь считаем, что sin(3π) = 0 и cos(3π) = -1. cos(3π/2 - a) * sin(a) * (-1) - cos(3π/2 - a) * cos(a) * 0 = -cos(3π/2 - a) * sin(a).

3. sin^2(a) = (sin(a))^2.

Теперь объединим все упрощенные слагаемые:

2sin(π/2 + a) * cos(a) - cos(3π/2 - a) * sin(a) + (sin(a))^2

С учетом того, что sin(π/2 + a) = cos(a) и cos(3π/2 - a) = sin(a), выражение упрощается к:

2cos(a) * cos(a) - sin(a) * sin(a) + (sin(a))^2

2cos^2(a) - sin^2(a) + sin^2(a)

Теперь используем тождество синуса и косинуса: sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1.

2cos^2(a) - sin^2(a) + sin^2(a) = 2cos^2(a)

Таким образом, упрощенное выражение равно 2cos^2(a).