Question

Найти угол между векторами a= (2; -4), b= (-6; 2).

Answer 1

$cos \alpha = \frac{ab}{ |a| |b| } \\ ab = 2 \times ( - 6) - 4 \times 2 = - 12 - 8 = - 20 \\ |a| = \sqrt{ {2}^{2} + {( - 4)}^{2} } = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \\ |b| = \sqrt{ {( - 6)}^{2} + {2}^{2} } = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \\ cos \alpha = \frac{ - 20}{2 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{10} } = \frac{ - 20}{4 \times 5 \times \sqrt{2} } = - \frac{1}{ \sqrt{2} }$
=> a = 135°.

Answer 2

Для нахождения угла между двумя векторами a и b, можно использовать формулу скалярного произведения (скалярного умножения) векторов:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$

где:

• $\theta$ - угол между векторами a и b,
• $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ - скалярное произведение векторов a и b,
• $\|\mathbf{a}\|$ и $\|\mathbf{b}\|$ - длины векторов a и b соответственно.

Для начала, вычислим скалярное произведение векторов a и b:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2 \cdot -6) + (-4 \cdot 2) = -12 - 8 = -20$

Теперь найдем длины векторов a и b:

$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4.47$

$\|\mathbf{b}\| = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \approx 6.32$

Теперь можем вычислить значение угла $\theta$:

$\cos(\theta) = \frac{-20}{4.47 \cdot 6.32} \approx \frac{-20}{28.26} \approx -0.7071$

Теперь найдем угол $\theta$ с помощью обратной функции косинуса (арккосинуса), обычно обозначаемой $\arccos$:

$\theta \approx \arccos(-0.7071) \approx 135^\circ$

Таким образом, угол между векторами a и b составляет приблизительно 135 градусов. Обратите внимание, что этот угол положительный, что означает, что векторы направлены в разные стороны относительно друг друга.