Question

Найдите значение выражения 4cos(2x)+6sin²(x) если ctgx=2 варианты ответов 2, 4.4, 5, 3.6

Answer 1

4(1-2sin^2x)+6sin^2x=4-2sin^2x=4-2*0.2=3.6

1+ctg^2x=1/(sin^2x)

1+4=1/(sin^2x)

sin^2x=1/5=0.2

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать тригонометрические тождества и информацию о ctgx.

Сначала найдем значение sin(x) и cos(x) с помощью ctgx.

ctgx = 1 / tan(x) = 1 / (1/tan(x)) = tan(x) Теперь знаем, что tan(x) = 2.

Используя определение тангенса, можно записать:

tan(x) = sin(x) / cos(x) = 2

Теперь, зная sin(x) и cos(x), можно вычислить значение выражения 4cos(2x) + 6sin²(x).

Используем тригонометрические тождества:

1. cos(2x) = 1 - 2sin²(x)
2. sin²(x) = (1 - cos(2x)) / 2

Теперь подставим значения sin(x) и cos(x):

sin²(x) = (1 - cos(2x)) / 2 = (1 - cos(2 * arctan(2))) / 2 (здесь используется формула sin(arctan(x)) = x / √(1 + x²))

Теперь найдем значение cos(2 * arctan(2)). Пусть y = arctan(2).

Используя тригонометрические формулы для удвоенного угла, получаем:

cos(2y) = cos²(y) - sin²(y) = (1 - sin²(y)) - sin²(y) = 1 - 2sin²(y)

Теперь можем вычислить sin²(y):

sin²(y) = (1 - cos(2y)) / 2 = (1 - (1 - 2sin²(y))) / 2 = (2sin²(y)) / 2 = sin²(y)

Таким образом, sin²(y) = 1/3.

Теперь, используя sin²(x) = sin²(y), можем вычислить cos²(x):

cos²(x) = 1 - sin²(x) = 1 - 1/3 = 2/3

Теперь найдем cos(x) и sin(x):

cos(x) = √(cos²(x)) = √(2/3) sin(x) = √(1 - cos²(x)) = √(1 - 2/3) = √(1/3)

Теперь, используя найденные значения sin(x) и cos(x), можно вычислить искомое выражение:

4cos(2x) + 6sin²(x) = 4(1 - 2sin²(x)) + 6sin²(x) = 4 - 8sin²(x) + 6sin²(x) = 4 - 2sin²(x)

Теперь подставим значение sin²(x):

4 - 2(1/3) = 4 - 2/3 = 12/3 - 2/3 = 10/3 ≈ 3.333

Таким образом, значение выражения 4cos(2x) + 6sin²(x) равно приблизительно 3.333.

Среди вариантов ответа только один близок к полученному значению: 3.6. Ответ: 3.6.