Question

При якому значенні параметра k рівняння 2x^2+(k-9)x+k^2+3k+4=0 має дійсні і рівні корені?

Answer 1

$2x^2+(k-9)x+k^2+3k+4=0$

$D=(k-9)^2-8(k^2+3k+4)=k^2-18k+81-8k^2-24k-32=\\ =-7k^2-42k+49$

Квадратное уравнение имеет действительные и равные корни, если D=0

$-7k^2-42k+49=0~~|:(-7)\\ k^2+6k-7=0$

Откуда $k_1=-7\\ k_2=1$

Ответ: -7 и 1.

Answer 2

Для того щоб рівняння мало дійсні і рівні корені, дискримінант (D) цього квадратного рівняння повинен бути рівний нулю. Дискримінант визначається за формулою D = b^2 - 4ac, де у рівнянні ax^2 + bx + c = 0, a, b, і c - це коефіцієнти рівняння.

У нашому випадку, рівняння має вигляд 2x^2 + (k - 9)x + k^2 + 3k + 4 = 0. Порівнюючи з загальним виглядом квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0, отримуємо: a = 2, b = k - 9 і c = k^2 + 3k + 4.

Тепер знаходимо дискримінант: D = (k - 9)^2 - 4 * 2 * (k^2 + 3k + 4).

D = k^2 - 18k + 81 - 8k^2 - 24k - 32.

D = -7k^2 - 42k + 49.

Тепер, щоб рівняння мало дійсні і рівні корені, D повинно дорівнювати нулю: -7k^2 - 42k + 49 = 0.

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Один зі способів зробити це - за допомогою факторизації: -7k^2 - 42k + 49 = -7(k^2 + 6k - 7).

Тепер факторизуємо вираз у дужках: -7(k^2 + 6k - 7) = -7(k + 7)(k - 1).

Таким чином, ми отримали два значення k, які дають дійсні і рівні корені:

1. k + 7 = 0 => k = -7.
2. k - 1 = 0 => k = 1.

Отже, при k = -7 або k = 1 рівняння має дійсні і рівні корені.