Question

Найдите значении функции f(x)=x³+2,5x²-2x в точке максимума.

Answer 1

F(x)=x³+2,5x²-2x
f'(x)=(x³+2,5x²-2x)'=3x²+5x-2
найдём критические точки
f'(x)=0
3x²+5x-2=0
D=25+24=49=7²
x=(-5±7)/6
x1=-2;x2=1/3
f'(x)>0 функция возрастает
f'(x)<0 функция убывает
3x²+5x-2>0
3(x+2)(x-1/3)>0
по методу интервалов
___+__-2__-__1/3___+
x=-2 max.
f(-2)=(-2)³+2,5•4-2•(-2)=-8+10+4=6
fmax(-2)=6

Answer 2

f(x)=x³+2,5x²-2x

найдем производную:

f ′(x)=3x²+5x-2

найдем нули производной:

3x²+5x-2=0

D=49

x1=(-5-7)/2=-2 - max

x2=(-5+7)/2=1/3 - min

f(-2)=-8+2.5*4+4=6

Answer 3

Для того чтобы найти значение функции в точке максимума, нам нужно найти значение x, при котором функция достигает своего максимального значения. Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции f(x).
2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует).
3. Проверим, являются ли эти критические точки максимумами или минимумами.
4. Найдем значение функции f(x) в точке максимума.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x). f(x) = x³ + 2.5x² - 2x

Производная f'(x) равна: f'(x) = d/dx (x³ + 2.5x² - 2x) f'(x) = 3x² + 5x - 2

Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки. Уравнение f'(x) = 0: 3x² + 5x - 2 = 0

Решим это квадратное уравнение, используя квадратную формулу или факторизацию. x = (-5 ± √(5² - 4 * 3 * (-2))) / (2 * 3) x = (-5 ± √(25 + 24)) / 6 x = (-5 ± √49) / 6 x = (-5 ± 7) / 6

Таким образом, получаем две критические точки: x₁ = (-5 + 7) / 6 = 2/6 = 1/3 x₂ = (-5 - 7) / 6 = -12/6 = -2

Шаг 3: Определим, являются ли эти критические точки максимумами или минимумами. Для этого рассмотрим знаки производной f'(x) в интервалах между критическими точками:

1. Когда x < -2: f'(-2) = 3(-2)² + 5(-2) - 2 = 3(4) - 10 - 2 = 2 (положительное значение) Таким образом, в интервале x < -2 производная положительна, что означает, что функция возрастает в этом интервале.

2. Когда -2 < x < 1/3: Выберем промежуточную точку между -2 и 1/3, например, x = 0. f'(0) = 3(0)² + 5(0) - 2 = -2 (отрицательное значение) Таким образом, в интервале -2 < x < 1/3 производная отрицательна, что означает, что функция убывает в этом интервале.

3. Когда x > 1/3: f'(1/3) = 3(1/3)² + 5(1/3) - 2 = 3/9 + 5/3 - 2 = 1/3 (положительное значение) Таким образом, в интервале x > 1/3 производная положительна, что означает, что функция возрастает в этом интервале.

Шаг 4: Найдем значение функции f(x) в точке максимума. Так как функция возрастает на интервале x > 1/3, то максимальное значение будет достигаться в точке x = 1/3.

f(1/3) = (1/3)³ + 2.5(1/3)² - 2(1/3) f(1/3) = 1/27 + 2.5/9 - 2/3 f(1/3) = (1 + 15 - 18)/27 f(1/3) = -2/27

Таким образом, значение функции в точке максимума (x = 1/3) равно -2/27.