Question

При каких значениях a уравнение lg(ax-1)-lg(x^2+5x+6)=0 имеет единственное решение?

Answer 1

уберём логарифмы, записав одз и решим

Answer 2

Для того чтобы уравнение lg(ax-1) - lg(x^2+5x+6) = 0 имело единственное решение, необходимо, чтобы оба логарифма имели одинаковое значение внутри.

Таким образом, мы должны иметь: lg(ax-1) = lg(x^2+5x+6)

Теперь, используем свойство логарифма, которое гласит, что если lg(a) = lg(b), то a = b.

Применяя это свойство, получаем: ax - 1 = x^2 + 5x + 6

Теперь перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем его к каноническому виду:

x^2 + (5-a)x + (6+1) = 0

x^2 + (5-a)x + 7 = 0

Для того чтобы это уравнение имело единственное решение, дискриминант должен быть равен нулю:

D = (5-a)^2 - 417 = 0

(5-a)^2 - 28 = 0

(5-a)^2 = 28

Теперь избавимся от квадрата, взяв квадратный корень с обеих сторон:

5-a = ±√28

Теперь разберем два случая:

1. 5 - a = √28 a = 5 - √28 a ≈ -0.6457

2. 5 - a = -√28 a = 5 + √28 a ≈ 10.6457

Таким образом, уравнение lg(ax-1) - lg(x^2+5x+6) = 0 имеет единственное решение при a ≈ -0.6457 или a ≈ 10.6457.