Question

При каких значениях a уравнение (x^2-5*x+6)/(x-2)=a не имеет решений

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Чтобы уравнение $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = a$ не имело решений, необходимо, чтобы левая часть уравнения (полином) и правая часть (константа $a$) не пересекались, то есть уравнение не имело общих точек.

Для этого сначала рассмотрим, при каких значениях $a$ знаменатель $x - 2$ равен нулю, что приводит к неопределённости деления. Когда $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$, знаменатель обращается в ноль. Таким образом, $a$ не может быть определено при $x = 2$.

Теперь мы знаем, что $a$ не может принимать значения при $x = 2$. Давайте узнаем, при каких других значениях $a$ уравнение не имеет решений. Для этого рассмотрим числитель $(x^2 - 5x + 6)$.

Чтобы узнать, при каких значениях $a$ уравнение не имеет решений, необходимо, чтобы числитель не имел корней. Корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6$ находятся с помощью дискриминанта $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac$,

где у нас $a = 1$, $b = -5$ и $c = 6$. Подставим в формулу:

$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Если дискриминант $\Delta > 0$, то у квадратного уравнения два различных вещественных корня, если $\Delta = 0$, то уравнение имеет один корень (корень кратности 2), и если $\Delta < 0$, то уравнение не имеет вещественных корней.

В нашем случае $\Delta = 1 > 0$, что означает, что уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$ имеет два различных вещественных корня.

Таким образом, при всех значениях $a$, кроме $x = 2$, уравнение $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = a$ имеет решения.