Question

А и В точки на параболе у в квадрате=2рх, р больше 0.хорда АВ параллельна оси У. Через точку А проведена касательная ,пересекающая прямую,парралельную оси Х и проходящую через В.1) Выразить через р геометрическое место точек С и начертить набросок . 2) Координата У точки С ,находящаяся на линии н7айденной в первой части, у=-2р. найти угол между касательной и осью Х в этом случае.

Answer 1

1.

пусть A(x₀; √(2px₀)); B(x₀; - √(2px₀))

Ветвь параболы, на которой расположена точка А. задается уравнением y=√(2px);

y`=2p/(2√(2px))=√p/√(2x)

Уравнение касательной в точке А

y - √(2px₀) = (√p/√(2x₀)) ·( x - x₀)

Находим абсциссу точки С - точки пересечения касательной и прямой, проходящей через В

{ y - √(2px₀) = (√p/√(2x₀)) ·( x - x₀)

{y = - √(2px₀)

Получаем х=-3х₀

Значит С(-3х₀; - √(2px₀) )

2.

-2p= - √(2px₀)⇒ x₀ =2p

k_(касательной)=f ` (x₀ )=√p/√(2·2p)=1/2

tgα=1/2

α=arctg(1/2)

Из прямоугольного треугольника АВС

tgα=AB/BC=2·√(2px₀)/(4x₀)=[ при х₀=2p]=1/2

α=arctg(1/2)

Answer 2

Для начала, давайте разберемся с геометрическим местом точек С, удовлетворяющих условиям задачи.

1. Геометрическое место точек С, таких что хорда АВ параллельна оси Y, будет представлять собой прямую линию, параллельную оси Y и проходящую через середину отрезка АВ.

Пусть координаты точек А и В на параболе задаются следующим образом:

А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂).

Тогда середина отрезка АВ будет иметь координаты:

С(х₃, у₃) = ((х₁ + х₂)/2, (у₁ + у₂)/2).

Таким образом, геометрическое место точек С образует параллельную линию оси Y и проходит через точку С(х₃, у₃) = ((х₁ + х₂)/2, (у₁ + у₂)/2).

2. Теперь, для того чтобы найти координату Y точки С на линии у = -2р, рассмотрим координаты С(х₃, у₃), полученные выше.

у₃ = (у₁ + у₂)/2 = -2р.

Теперь мы можем выразить у₁ и у₂ через р:

у₁ = -2р - у₂.

Теперь нам нужно найти угол между касательной, проведенной в точке А, и осью X. Для этого нам понадобится найти угловой коэффициент касательной в точке А на параболе.

Для нахождения углового коэффициента касательной, возьмем производную уравнения параболы:

у = 2рх².

y' = d(2рх²)/dx = 4рх.

Теперь, подставим координату x₁ точки А в выражение для углового коэффициента:

угловой коэффициент в точке А = 4р * х₁.

Итак, угловой коэффициент касательной в точке А равен 4р * х₁.

Теперь угол между касательной и осью X обозначим как α. Тангенс угла α равен угловому коэффициенту касательной:

tan(α) = 4р * х₁.

Теперь можно найти сам угол α, взяв арктангенс от обеих сторон:

α = arctan(4р * х₁).

Итак, у нас есть геометрическое место точек С и угол α между касательной и осью X в случае, когда у координаты С находится на линии у = -2р. Теперь можно нарисовать набросок графика для лучшего понимания задачи.