Question

|3x-4|+|5x-6|<2 Решал с помощью общего метода решения неравенств с модулем и получился такой ответ: x принадлежит (1; 6/5) ; (6/5; 4/3) ; ( 4/3; 3/2 ). Но правильный ответ (1; 3/2) Что не так у меня?

Answer 1

найдем корни уравнения: |3x-4|+|5x-6|=2

Для этого рассмотрим 3 случая

Сначала найдем нули подмодульных выражений:

$1) \ 3x-4=0 \\ \\ x=\frac{4}{3} \\ \\ 2) \ 5x-6=0 \\ \\ x=\frac{6}{5}$

знаки, с которыми раскроется модуль удобно представить в таблице (см. рисунок)

1 случай)

$\left\{\begin{matrix}x$

2 случай)

$\left\{\begin{matrix}\frac{6}{5}\leq x \leq\frac{4}{3} \\ \\ -(3x-4)+(5x-6)=2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{6}{5}\leq x \leq \frac{4}{3}\\ \\ -3x+4+5x-6=2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{6}{5}\leq x \leq\frac{4}{3} \\ \\ 2x=4\end{matrix}\right. \\ \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{6}{5}\leq x \leq\frac{4}{3} \\ \\ x=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x \in \ \varnothing$

3 случай)

$\left\{\begin{matrix}x > \frac{4}{3} \\ \\ (3x-4)+(5x-6)=2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x > \frac{4}{3} \\ \\ 3x-4+5x-6=2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x > \frac{4}{3} \\ \\ 8x=12\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x > \frac{4}{3} \\ \\ x=\frac{3}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

в итоге из 3-х случаев получаем 2 корня: 1 и 3/2

Наносим их на координатную прямую (метод интервалов):

|3x-4|+|5x-6|<2

|3x-4|+|5x-6|-2<0

+++(1)---(3/2)+++>x

$OTBET: \ x \in (1; \ \frac{3}{2} )$

Answer 2

Давайте разберем ваше решение и выясним, где допущена ошибка.

Имеем неравенство:

|3x - 4| + |5x - 6| < 2

Общий метод решения неравенств с модулем заключается в выражении всех возможных случаев, когда выражение внутри модуля может быть положительным или отрицательным, и затем нахождении интервалов, в которых выполняются неравенства.

Шаг 1: Выражаем условия внутри модулей:

1. Для |3x - 4|: a) Когда 3x - 4 >= 0 => 3x >= 4 => x >= 4/3 b) Когда 3x - 4 < 0 => 3x < 4 => x < 4/3

2. Для |5x - 6|: a) Когда 5x - 6 >= 0 => 5x >= 6 => x >= 6/5 b) Когда 5x - 6 < 0 => 5x < 6 => x < 6/5

Шаг 2: Теперь рассмотрим все возможные комбинации этих условий.

1. x >= 4/3 и x >= 6/5: На интервале x >= 4/3 выполняется условие x >= 6/5, так как этот интервал начинается позже и условие x >= 6/5 также включает в себя условие x >= 4/3.

2. x >= 4/3 и x < 6/5: На этом интервале неравенство не выполнено, так как x должен быть больше или равен 4/3 и меньше 6/5 одновременно, что невозможно.

3. x < 4/3 и x >= 6/5: На этом интервале также неравенство не выполнено, так как x должен быть больше или равен 6/5 и меньше 4/3 одновременно, что невозможно.

4. x < 4/3 и x < 6/5: На интервале x < 4/3 выполняется условие x < 6/5, так как оба условия верны для данного интервала.

Таким образом, правильные интервалы, на которых выполняется неравенство, - это x < 4/3 и x < 6/5. Объединяя их, получаем x < 6/5.

Правильный ответ: x < 6/5

Ошибочные интервалы, которые вы указали, возникли, вероятно, из-за того, что в процессе анализа вы не рассмотрели случай x < 6/5 и неверно определили условия для других интервалов.