Question

2^3sin^3xcosx-2^3sinxcos^3x=2^0,5помогите пожалуйста

Answer 1

Решение внизу на фото

Answer 2

Для начала, давайте приведем уравнение к более простому виду, чтобы решить его. У нас есть уравнение:

$2^3\sin^3(x)\cos(x) - 2^3\sin(x)\cos^3(x) = 2^{0,5}$

Мы можем упростить его, используя следующее тождество:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Применим его к первой части уравнения, где $a = 2\sin(x)$ и $b = 2\cos(x)$:

$2^3\sin^3(x)\cos(x) - 2^3\sin(x)\cos^3(x) = (2\sin(x) - 2\cos(x))(4\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) + 4\cos^2(x))$

Мы также можем заметить, что $4\sin^2(x) + 4\cos^2(x) = 4(\sin^2(x) + \cos^2(x)) = 4$ (используя тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$). Заменим это в уравнении:

$2^3\sin^3(x)\cos(x) - 2^3\sin(x)\cos^3(x) = (2\sin(x) - 2\cos(x))(4) = 8(\sin(x) - \cos(x))$

Теперь уравнение принимает вид:

$8(\sin(x) - \cos(x)) = 2^{0,5}$

Далее, чтобы решить уравнение, давайте выразим $\sin(x)$ через $\cos(x)$. Зная, что $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, мы можем записать:

$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ $\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}$

Подставим это обратно в уравнение:

$8(\sqrt{1 - \cos^2(x)} - \cos(x)) = 2^{0,5}$

Теперь давайте решим уравнение относительно $\cos(x)$:

$8\sqrt{1 - \cos^2(x)} - 8\cos(x) = 2^{0,5}$

$8\sqrt{1 - \cos^2(x)} = 2^{0,5} + 8\cos(x)$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$64(1 - \cos^2(x)) = (2^{0,5} + 8\cos(x))^2$

$64 - 64\cos^2(x) = 2 + 16\sqrt{2}\cos(x) + 64\cos^2(x)$

Теперь выразим все в одной части уравнения:

$128\cos^2(x) + 16\sqrt{2}\cos(x) - 62 = 0$