Question

Пожалуйста, решите уравнение|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=|x+2|

Answer 1

|x+1| - |x| + 3|x-1| - 2|x-2| = |x+2|
1) x < -2
(-x-1) - (-x) + 3(1-x) - 2(2-x) = -x-2
-x-1+x+3-3x-4+2x = -x-2
-x-2 = -x-2 - это верно для всех x < -2
2) x € [-2; -1)
(-x-1) - (-x) + 3(1-x) - 2(2-x) = x+2
-x-1+x+3-3x-4+2x = x+2
-x-2 = x+2; x = -2 - подходит.
3) x € [-1; 0)
(x+1) - (-x) + 3(1-x) - 2(2-x) = x+2
x+1+x+3-3x-4+2x = x+2
x = x+2 - решений нет
4) x € [0; 1)
(x+1) - x + 3(1-x) - 2(2-x) = x+2
1+3-3x-4+2x = x+2
-x = x+2; x = -1 - не подходит
5) x € [1; 2)
(x+1) - x + 3(x-1) - 2(2-x) = x+2
1+3x-3-4+2x = x+2
5x-6 = x+2; x = 2 - не подходит.
6) x >= 2
(x+1) - x + 3(x-1) - 2(x-2) = x+2
1+3x-3-2x+4 = x+2
x+2 = x+2 - это верно для всех x >= 2
Ответ: (-oo; -2] U [2; +oo)

Answer 2

Для решения данного уравнения с модулями, нужно рассмотреть различные интервалы значений x, где модули меняют свои значения. Затем рассмотрим каждый интервал и найдем значения x, которые удовлетворяют уравнению. Начнем с рассмотрения интервалов:

1. x ≤ -2
2. -2 ≤ x ≤ -1
3. -1 ≤ x ≤ 1
4. 1 ≤ x ≤ 2
5. x ≥ 2

Рассмотрим каждый интервал по отдельности:

1. x ≤ -2: В этом интервале у нас есть |x + 1|, |x|, |x - 1|, |x - 2| и |x + 2| все равны |x + 2|, так как x ≤ -2. Теперь уравнение выглядит так: |x + 2| - |x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = |x + 2|. Подставим |x + 2| = x + 2, и получим: (x + 2) - |x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = x + 2. Уберем общие слагаемые справа и слева: -|x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = 0.

2. -2 ≤ x ≤ -1: В этом интервале у нас есть |x + 1|, |x|, |x - 1|, |x - 2| и |x + 2| все равны |x + 1|, так как -2 ≤ x ≤ -1. Теперь уравнение выглядит так: |x + 1| - |x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = |x + 1|. Подставим |x + 1| = -(x + 1), и получим: -(x + 1) - |x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = -(x + 1). Уберем общие слагаемые справа и слева: -|x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = 0.

3. -1 ≤ x ≤ 1: В этом интервале у нас есть |x + 1|, |x|, |x - 1|, |x - 2| и |x + 2| все равны своим значениям. Теперь уравнение выглядит так: |x + 1| - |x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = |x + 2|. Подставим значения модулей: (x + 1) - x + 3(x - 1) - 2(x - 2) = |x + 2|. Упростим уравнение: x + 1 - x + 3x - 3 - 2x + 4 = |x + 2|. x - 2 = |x + 2|.

4. 1 ≤ x ≤ 2: В этом интервале у нас есть |x + 1|, |x|, |x - 1|, |x - 2| и |x + 2| все равны своим значениям. Теперь уравнение выглядит так: |x + 1| - |x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = |x + 2|. Подставим значения модулей: (x + 1) - x + 3(x - 1) - 2(x - 2) = x + 2. Упростим уравнение: x + 1 - x + 3x - 3 - 2x + 4 = x + 2. x - 2 = x + 2.

5. x ≥ 2: В этом интервале у нас есть |x + 1|, |x|, |x - 1|, |x - 2| и |x + 2| все равны |x - 2|, так как x ≥ 2. Теперь уравнение выглядит так: |x + 1| - |x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = |x + 2|. Подставим |x - 2| = x - 2, и получим: (x + 1) - |x| + 3|x - 1| - 2(x - 2) = x + 2. Уберем общие слагаемые справа и слева: -|x| + 3|x - 1| - 2(x - 2) = 0.

Теперь решим уравнения в каждом из интервалов:

1. x ≤ -2: -|x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = 0. При x ≤ -2, x - 1 < 0 и x - 2 < 0. Упростим уравнение: -(-x) + 3(-x - 1) - 2(-x - 2) = 0. x + 3x + 3 - 2x - 4 = 0. 2x - 1 = 0. x = 1/2.

2. -2 ≤ x ≤ -1: -|x| + 3|x - 1| - 2|x - 2| = 0. При -2 ≤ x ≤ -1, x - 1 < 0 и x - 2 < 0. Упростим уравнение: -(-x) + 3(-x - 1) - 2(-x - 2) = 0. x + 3x + 3 - 2x - 4 = 0. 2x - 1 = 0. x = 1/2.

3. -1 ≤ x ≤ 1: x - 2 = |x + 2|. Рассмотрим два случая: a) Если x + 2 ≥ 0, то |x + 2| = x + 2. x - 2 = x + 2. -2 = 2 (