Question

При каких значениях параметра a уравнение (a-1)x^2-2(a+3)x+2a=0 Имеет два различных положительных корня?

Answer 1

D=(-2a-6)^2-4(2a-1)*2a>0

4a^2+24a+36-8a^2+4a=-4a^2+28a+36>0

-a^2+7a+9>0

D=49+36=81

a1=(-7+9)/(-2)=-1,

a2=(-7-9)/(-2)=8

---(-1)+++++(8)----

Учесть надо что коэффициент перед x^2 должен быть отличен от 0

тогда a-1≠0;a≠1

Ответ a=(-1;1)U(1;8)

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело два различных положительных корня, дискриминант должен быть положительным. Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В данном уравнении у нас есть:

a = (a-1), b = -2(a+3), c = 2a.

Теперь вычислим дискриминант:

D = (-2(a+3))^2 - 4(a-1)(2a) = 4(a+3)^2 - 8a(a-1) = 4(a^2 + 6a + 9) - 8(a^2 - a) = 4a^2 + 24a + 36 - 8a^2 + 8a = -4a^2 + 32a + 36.

Теперь условие, при котором уравнение имеет два различных положительных корня:

D > 0, -4a^2 + 32a + 36 > 0.

Для решения этого неравенства:

-4a^2 + 32a + 36 > 0 a^2 - 8a - 9 < 0.

Теперь решим квадратное неравенство. Можно воспользоваться графиком или использовать методы решения неравенств, например, когда изучали знаки квадратных выражений. Решением этого неравенства будет интервал между двумя корнями:

(a - 9)(a + 1) < 0.

Корни уравнения a^2 - 8a - 9 = 0:

a = (8 ± √(8^2 - 4*(-9))) / 2 a = (8 ± √(64 + 36)) / 2 a = (8 ± √100) / 2 a = (8 ± 10) / 2.

Таким образом, корни равны: a = 9 и a = -1.

Мы получили две точки, которые делят ось абсцисс на три интервала: (-∞, -1), (-1, 9) и (9, +∞). Теперь нам нужно определить знак выражения (a - 9)(a + 1) на каждом из этих интервалов. Для этого выберем точку внутри каждого интервала:

1. Подставим a = -2 (любое число между -∞ и -1): (-2 - 9)(-2 + 1) = (-11)(-1) = 11 > 0.

2. Подставим a = 0 (любое число между -1 и 9): (0 - 9)(0 + 1) = (-9)(1) = -9 < 0.

3. Подставим a = 10 (любое число больше 9): (10 - 9)(10 + 1) = (1)(11) = 11 > 0.

Теперь знаем знак выражения на каждом интервале:

(-∞, -1): положительный (-1, 9): отрицательный (9, +∞): положительный.

Условие D > 0 выполняется, когда a находится в интервале (-1, 9). Таким образом, ответ: -1 < a < 9.