Question

При каком наименьшем N дроби от 1/2 до 1/10 являются конкчными N-ичными дробями

Answer 1

Если число p/q записывается в виде конечной N-ичной дроби, то (p/q) * N^k, где k – длина дробной части. – является целым числом. Значит, N^k делится на q, а N делится на все простые делители q.

Все простые делители чисел от 2 до 10: 2, 3, 5, 7
Если N делится на все эти числа, то оно не меньше НОК(2, 3, 5, 7) = 2 * 3 * 5 * 7 = 210.

Ответ: 210.

Answer 2

Для определения наименьшего N, при котором дроби от 1/2 до 1/10 являются конечными N-ичными дробями, нужно проанализировать знаменатели каждой дроби. Дробь имеет конечное N-ичное представление, если знаменатель (деноминатор) этой дроби полностью разлагается на простые множители, которые являются основанием системы N.

Для каждой дроби от 1/2 до 1/10:

1/2 = 1/2 (в N-ичной системе - 0.5, но дробь уже записана в базовой десятичной системе) 1/3 = 1/3 (в N-ичной системе - 0.1, знаменатель 3 разлагается только на простой множитель 3) 1/4 = 1/4 (в N-ичной системе - 0.4, знаменатель 4 разлагается только на простой множитель 2) 1/5 = 1/5 (в N-ичной системе - 0.2, знаменатель 5 разлагается только на простой множитель 5) 1/6 = 1/10 (в N-ичной системе - 0.1, знаменатель 6 разлагается на простые множители 2 и 3) 1/7 = 1/10.1 (в N-ичной системе - 0.1, знаменатель 7 не разлагается на простые множители, кроме 7) 1/8 = 1/10.2 (в N-ичной системе - 0.2, знаменатель 8 разлагается только на простой множитель 2) 1/9 = 1/10.1 (в N-ичной системе - 0.01, знаменатель 9 разлагается на простые множители 3) 1/10 = 1/10 (в N-ичной системе - 0.1, знаменатель 10 разлагается на простые множители 2 и 5)

Мы видим, что все дроби, кроме 1/6, 1/7, 1/9 и 1/10, имеют конечное N-ичное представление при всех N. Таким образом, наименьшее N, при котором все дроби от 1/2 до 1/10 являются конечными N-ичными дробями, равно N = 6.