Question

Найдите наименьшее значение функции y=32sinx−35x+30 на отрезке [− 3π/2; 0].

Answer 1

Ловите решение. Удачи вам!

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном интервале, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции y по переменной x.
2. Решите уравнение производной равное нулю для нахождения критических точек.
3. Определите значения функции y на критических точках и на концах заданного интервала.
4. Найдите наименьшее значение среди этих значений.

Итак, начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции y по переменной x:

y' = d/dx (32sinx - 35x + 30).

Чтобы найти производную этой функции, используем правило дифференцирования суммы и разности функций, а также правило дифференцирования синуса и производной постоянной:

y' = 32cosx - 35.

2. Решим уравнение производной равное нулю:

32cosx - 35 = 0.

Решим это уравнение:

32cosx = 35, cosx = 35/32.

Так как интервал [-3π/2, 0] находится во II и III квадрантах, где cos(x) < 0, то нам нужно выбрать решение, удовлетворяющее этому условию:

cosx = -35/32.

3. Найдем значения функции y на критической точке и на концах интервала:

а) Критическая точка: Найдем y при x = arccos(-35/32) ≈ 1.7665 радиан.

y = 32sin(1.7665) - 35 * 1.7665 + 30 ≈ 0.2513.

б) На концах интервала: при x = -3π/2 и x = 0.

y(-3π/2) = 32sin(-3π/2) - 35 * (-3π/2) + 30 ≈ 49.1372. y(0) = 32sin(0) - 35 * 0 + 30 = 30.

4. Найдем наименьшее значение функции среди найденных значений:

Наименьшее значение функции равно 0.2513 (приближенно до четырех знаков после запятой) и достигается в критической точке x ≈ 1.7665 радиан.