Question

Найдите количество корней уравнения 3cos^2x-4cosx+1=0, принадлежащих к отрезку [-180; 270 градусов]. С подробным решением, пожалуйста.

Answer 1

Решено $\checkmark$

на фото отбор корней окружностью, но можно и другими способами (перебор, неравенства и т.д.)

Answer 2

Для решения данного квадратного уравнения относительно косинуса, давайте представим уравнение в виде:

$3\cos^2x - 4\cos x + 1 = 0$

Для удобства, заменим $\cos x$ на $t$, тогда уравнение станет:

$3t^2 - 4t + 1 = 0$

Для нахождения корней этого квадратного уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ и формулой для нахождения корней:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

где $a = 3$, $b = -4$, $c = 1$.

1. Найдем дискриминант $D$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

2. Теперь находим корни уравнения $t$:

$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$

Таким образом, имеем два корня $t_1$ и $t_2$:

$t_1 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь нужно найти углы $x$, соответствующие этим корням, в пределах $[-180, 270]$ градусов.

1. Для $t_1 = \frac{2}{3}$:

$\cos x = \frac{2}{3}$

Найдем $x$:

$x = \cos^{-1} \left(\frac{2}{3}\right) \approx 48.19^\circ$

2. Для $t_2 = \frac{1}{3}$:

$\cos x = \frac{1}{3}$

Найдем $x$:

$x = \cos^{-1} \left(\frac{1}{3}\right) \approx 70.53^\circ$

Таким образом, уравнение имеет два корня $x_1 \approx 48.19^\circ$ и $x_2 \approx 70.53^\circ$, принадлежащих отрезку $[-180, 270]$ градусов.