Question

Решите тригонометрическое неравенство: tg(2x+2п/3)≤√3/3

Answer 1

$tg(2x+\frac{2\pi}{3})\leq \frac{\sqrt{3}}{3}\\\\-\frac{\pi}{2}+\pi n$

x ∈ $(-\frac{7\pi}{12}+\frac{\pi n}{2} ;-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}]$

Answer 2

Решение (см. изображение)

Answer 3

Для решения данного тригонометрического неравенства, мы должны учесть область определения функции тангенса и затем найти значения переменной x, которые удовлетворяют неравенству.

Исходное неравенство: tg(2x + 2π/3) ≤ √3/3

1. Найдем область определения функции тангенса: Тангенс не определен для значений, при которых его знаменатель равен нулю. Знаменатель тангенса - это cos(2x + 2π/3). Таким образом, исключаем значения, для которых cos(2x + 2π/3) = 0:

2x + 2π/3 = π/2 + kπ, где k - целое число. 2x = π/2 - 2π/3 + kπ 2x = (3π - 4π + 6kπ)/6 2x = (π - 2π/3 + 6kπ)/3 x = (π - 2π/3 + 6kπ)/6 x = (π(1 - 2/3) + 6kπ)/6 x = (π/3 + 6kπ)/6 x = π/18 + kπ, где k - целое число.

Таким образом, область определения функции тангенса: x ≠ π/18 + kπ.

2. Решим неравенство в полученной области определения: tg(2x + 2π/3) ≤ √3/3

Заметим, что tg(π/3) = √3, а tg(π/6) = √3/3. Это поможет нам упростить неравенство.

У нас есть ряд значений tg(x) в интервалах: (-∞, -√3] и [√3, +∞).

Поскольку период тангенса равен π, можем записать:

tg(2x + 2π/3) = tg(2x + π + π/3) = tg(2x + π/3).

Теперь наше неравенство выглядит так: tg(2x + π/3) ≤ √3/3.

Рассмотрим несколько интервалов:

а) x ∈ (-∞, π/18): 2x + π/3 < π/3 + π/3 = 2π/3. На этом интервале значения tg(2x + π/3) будут принадлежать интервалу tg(0, 2π/3), т.е., (0, √3].

б) x ∈ (π/18, π/6): 2x + π/3 ∈ (π/3 + π/3, π/3 + π/2) = (2π/3, 3π/6) = (2π/3, π/2). На этом интервале значения tg(2x + π/3) будут лежать в интервале tg(2π/3, π/2), т.е., (0, +∞).

в) x ∈ (π/6, π/18 + π): 2x + π/3 ∈ (π/3 + π/2, π/3 + 2π/3) = (3π/6, 4π/6) = (π/2, 2π/3). На этом интервале значения tg(2x + π/3) будут лежать в интервале tg(π/2, 2π/3), т.е., (-∞, -√3].

г) x ∈ (π/18 + π, +∞): 2x + π/3 > 2π/3 + π/3 = π. На этом интервале значения tg(2x + π/3) будут принадлежать интервалу tg(π, +∞), т.е., [√3, +∞).

Таким образом, решением исходного тригонометрического неравенства будет объединение всех полученных интервалов:

x ∈ (-∞, π/18] ∪ (π/6, π/18 + π)