Question

уважаемые люди прошу помогите Пожалуйста. Найдите промежутки возрастания убывания , точки экстремума и экстремумы функции. В)у=1/(х+1)^3-2

Answer 1

Ловите решение. Удачи!

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также экстремумов функции у=1/(х+1)^3-2, нам понадобится выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции у по х.
2. Решим уравнение у' = 0, чтобы найти критические точки.
3. Исследуем знак производной на разных интервалах, чтобы определить промежутки возрастания и убывания.
4. Найдем вторую производную у'' и проанализируем ее знак, чтобы найти экстремумы.

Шаг 1: Вычислим производную функции у по х:

у = 1 / (х + 1)^3 - 2 у' = d/dx(1 / (х + 1)^3) - d/dx(2)

Для нахождения производной сложной функции 1 / (х + 1)^3, используем правило дифференцирования сложной функции:

(d/dx)(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)

Получаем: у' = -3 / (х + 1)^4

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв у' к нулю и решив уравнение:

-3 / (х + 1)^4 = 0

Так как у' равна нулю при х = -1, имеем одну критическую точку х = -1.

Шаг 3: Теперь проанализируем знак производной у' на разных интервалах:

1. Когда х < -1: Подставим х = -2 в у' = -3 / (х + 1)^4: у'(-2) = -3 / (-2 + 1)^4 = -3 У производной отрицательный знак на этом интервале, следовательно, функция убывает при х < -1.

2. Когда х > -1: Подставим х = 0 в у' = -3 / (х + 1)^4: у'(0) = -3 / (0 + 1)^4 = -3 У производной отрицательный знак на этом интервале, следовательно, функция убывает при х > -1.

Шаг 4: Найдем вторую производную у'' для определения экстремумов:

у'' = d/dx(-3 / (х + 1)^4)

Продифференцируем у' = -3 / (х + 1)^4:

у'' = 12 / (х + 1)^5

Теперь проанализируем знак второй производной у'':

1. Когда х < -1: Подставим х = -2 в у'': у''(-2) = 12 / (-2 + 1)^5 = 12 У второй производной положительный знак на этом интервале, что говорит о том, что у функции есть локальный минимум при х < -1.

2. Когда х > -1: Подставим х = 0 в у'': у''(0) = 12 / (0 + 1)^5 = 12 У второй производной положительный знак на этом интервале, что говорит о том, что у функции есть локальный минимум при х > -1.

Таким образом, у функции у=1/(х+1)^3-2 есть два локальных минимума: один при х < -1 и второй при х > -1. Функция убывает на всем диапазоне значений х, то есть (-∞, -1) и (-1, +∞).