Question

Розв'яжіть нерівність x^2(x-3)(x+2)>0

Answer 1

x²(x-3)(x+2)>0 Розв'язуємо методом інтервалів

x²(x-3)(x+2) = 0; x₁ = 0; x₂ = 3; x₃ = -2.

+++++++               --------------          -------------         ++++++

----------------- -2 ----------------------0-------------------3------------->

x ∈ (-∞; -2)U(3; ∞)

Answer 2

Для вирішення даної нерівності x^2(x-3)(x+2) > 0, спочатку знайдемо критичні точки, які розділяють число x на інтервали, де нерівність буде виконана. Потім, шляхом аналізу знаків на цих інтервалах, з'ясуємо, коли вираз буде більше нуля.

Критичні точки знаходимо, прирівнюючи кожний множник в дужках до нуля:

1. x^2 = 0 => x = 0
2. x - 3 = 0 => x = 3
3. x + 2 = 0 => x = -2

Тепер розділимо весь діапазон чисел на інтервали, використовуючи знайдені критичні точки: (-безкінечність, -2), (-2, 0), (0, 3), (3, +безкінечність).

Тепер перевіримо знак виразу x^2(x-3)(x+2) на кожному з цих інтервалів:

1. (-безкінечність, -2): Підставимо x = -3 (випадкове число з цього інтервалу) в вираз: (-3)^2(-3-3)(-3+2) = 9 * (-6) * (-1) = 54 Вираз > 0 на цьому інтервалі.

2. (-2, 0): Підставимо x = -1 (випадкове число з цього інтервалу) в вираз: (-1)^2(-1-3)(-1+2) = 1 * (-4) * 1 = -4 Вираз < 0 на цьому інтервалі.

3. (0, 3): Підставимо x = 1 (випадкове число з цього інтервалу) в вираз: (1)^2(1-3)(1+2) = 1 * (-2) * 3 = -6 Вираз < 0 на цьому інтервалі.

4. (3, +безкінечність): Підставимо x = 4 (випадкове число з цього інтервалу) в вираз: (4)^2(4-3)(4+2) = 16 * 1 * 6 = 96 Вираз > 0 на цьому інтервалі.

Отже, нерівність виконується на інтервалах (-безкінечність, -2) та (3, +безкінечність). Це можна записати так:

x ∈ (-безкінечність, -2) U (3, +безкінечність)