Question

Докажите,что если функция y=f(x) возрастает на R и y=g(x) убывает на R,то y=g(f(x)) убывает на R ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!! 25 Баллов!!!!!!

Answer 1

Y=g(f(x))

так как f(x) возрастает на R
для любых х1,х2€R, таких что
х1>х2 имеем f(x1)>f(x2)

В силу убывания функции g большему значению её аргумента (f(x) )должно соответствовать меньшее значение функции g.
при х1>х2 (х1,х2€R)
имеем
при f(x1)>f(x2)
g(f(x1))<g(f(x2))

а это и означает,что
y=g(f(x)) будет убывать на x€R

что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства убывания функции y=g(f(x)) на всей числовой прямой R, нам нужно показать, что для любых двух точек x1 и x2 из R, таких что x1 < x2, выполняется неравенство g(f(x2)) < g(f(x1)).

Поскольку функция f(x) возрастает на R, то для любых x1 и x2 из R, таких что x1 < x2, имеем f(x1) < f(x2).

Также, функция g(x) убывает на R, следовательно, для любых x1 и x2 из R, таких что x1 < x2, имеем g(x1) > g(x2).

Теперь, рассмотрим значения функции y=g(f(x)) для x=x1 и x=x2:

g(f(x1)) > g(f(x2))

Так как мы знаем, что f(x1) < f(x2), то мы можем заменить значения f(x1) и f(x2) в неравенстве:

g(f(x2)) > g(f(x1))

Таким образом, мы показали, что для любых x1 и x2 из R, таких что x1 < x2, выполняется неравенство g(f(x2)) > g(f(x1)), что означает, что функция y=g(f(x)) убывает на всей числовой прямой R.

Таким образом, утверждение доказано.