Question

Решите уравнение:|x+1|-|x-2|+|3x+6|=5.

Answer 1

Решить уравнение:      |x+1|-|x-2|+|3x+6|=5.

3|x+2| +|x+1|- |x-2| =5.

 - - -                   +  -  -              + + -                 + + +

--------------- (-2)----------- (-1 ) -----------------(2) ----------------

a) { x < -2 ;  -(3x -6) -(x +1) +(x -2)=5.⇔ { x < -2 ;  x = -14/3.  ⇒ x = -14/3.

б) { -2 ≤ x< - 1 ;  3x+6 -(x+1) +(x -2)=5.⇔ { -2 ≤ x<- 1 ;  x = 2/3.⇒   x ∈∅.

в)  { - 1 ≤ x< 2 ;  3x+6 +(x +1) +(x -2)=5.⇔ {-1 ≤ x< 2 ;  x = 0.  ⇒  x = 0.

д)  { x≥ 2 ;  3x+6 +(x +1) - (x -2)=5.⇔ {1 ≤ x< 2 ;  x = - 4/3.  ⇒  x ∈∅.

ответ:  - 14/3 ; 0 .

Answer 2

Для решения уравнения с модулями, нужно рассмотреть различные интервалы значений x, где модули могут иметь разные значения. Затем нужно найти решения в каждом из этих интервалов. Для этого рассмотрим несколько случаев:

1. Пусть x ≤ -1. Тогда оба выражения |x+1| и |x-2| будут равны нулю, так как оба аргумента в модулях будут отрицательными числами. Тогда уравнение примет вид: |0| + |0| + |3x + 6| = 5.

|3x + 6| = 5.

Теперь рассмотрим два случая:

a) 3x + 6 = 5:

Copy code
  3x = -1,

  x = -1/3.

b) 3x + 6 = -5:

Copy code
  3x = -11,

  x = -11/3.

Итак, для x ≤ -1 у нас есть два решения: x = -1/3 и x = -11/3.

2. Пусть -1 < x ≤ 2. Тогда |x+1| равно x + 1, а |x-2| равно 2 - x. Уравнение теперь выглядит так: (x + 1) - (2 - x) + |3x + 6| = 5.

x + 1 - 2 + x + |3x + 6| = 5.

2x - 1 + |3x + 6| = 5.

Теперь рассмотрим два случая:

a) 3x + 6 ≥ 0:

Copy code
 |3x + 6| = 3x + 6.

 2x - 1 + 3x + 6 = 5.

 5x + 5 = 5.

 5x = 0.

 x = 0.

b) 3x + 6 < 0:

scssCopy code
 |3x + 6| = -(3x + 6) = -3x - 6.

 2x - 1 - 3x - 6 = 5.

 -x - 7 = 5.

 -x = 12.

 x = -12.

Итак, для -1 < x ≤ 2 у нас есть два решения: x = 0 и x = -12.

3. Пусть x > 2. Тогда и |x+1| и |x-2| будут положительными. Уравнение имеет следующий вид: (x + 1) - (x - 2) + |3x + 6| = 5.

x + 1 - x + 2 + |3x + 6| = 5.

3 + |3x + 6| = 5.

Теперь рассмотрим два случая:

a) 3x + 6 ≥ 0:

Copy code
 |3x + 6| = 3x + 6.

 3 + 3x + 6 = 5.

 3x + 9 = 5.

 3x = -4.

 x = -4/3.

b) 3x + 6 < 0:

scssCopy code
 |3x + 6| = -(3x + 6) = -3x - 6.

 3 - 3x - 6 = 5.

 -3x - 3 = 5.

 -3x = 8.

 x = -8/3.

Итак, для x > 2 у нас есть два решения: x = -4/3 и x = -8/3.

Таким образом, все решения уравнения |x + 1| - |x - 2| + |3x + 6| = 5:

x = -11/3, x = -1/3, x = -12, x = 0, x = -4/3, x = -8/3.