Question

Напишите общий вид первообразных для данных функции 1) f(x)=(2x+3)^3; 2) f(x)=(3x-2)^8;

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для обеих функций нам нужно найти общий вид первообразной, то есть функции, производная которых равна данной функции.

1. Функция f(x) = (2x + 3)^3.

Чтобы найти первообразную для этой функции, воспользуемся методом интегрирования. Для этой задачи применим замену переменных, чтобы упростить интеграл.

Проведем замену: u = 2x + 3. Тогда, дифференцируя обе части по x, получаем du/dx = 2. Отсюда dx = du/2.

Теперь заменим переменные в интеграле: ∫ (2x + 3)^3 dx = ∫ u^3 * (du/2) = (1/2) * ∫ u^3 du.

Теперь проинтегрируем простую степенную функцию: (1/2) * ∫ u^3 du = (1/2) * (u^4 / 4) + C = u^4 / 8 + C.

Теперь вернемся к исходной переменной x: u = 2x + 3, поэтому первообразная для функции f(x) = (2x + 3)^3: F(x) = (2x + 3)^4 / 8 + C.

Где C - произвольная константа интегрирования.

2. Функция f(x) = (3x - 2)^8.

Для этой функции также применим замену переменных, чтобы упростить интеграл.

Проведем замену: u = 3x - 2. Тогда, дифференцируя обе части по x, получаем du/dx = 3. Отсюда dx = du/3.

Теперь заменим переменные в интеграле: ∫ (3x - 2)^8 dx = ∫ u^8 * (du/3) = (1/3) * ∫ u^8 du.

Интегрируем степенную функцию: (1/3) * ∫ u^8 du = (1/3) * (u^9 / 9) + C = u^9 / 27 + C.

Теперь вернемся к исходной переменной x: u = 3x - 2, поэтому первообразная для функции f(x) = (3x - 2)^8: F(x) = (3x - 2)^9 / 27 + C.

Где C - произвольная константа интегрирования.