Question

Докажите тождество: ctg²α - cos²α = ctg²α · cos²α

Answer 1

Разделим обе части на ctg²α. получим:

1 - cos²α / (cos²α/sin²α) = cos²α

1 - sin²α = cos²α

cos²α = cos²α, ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и преобразуем ее, чтобы она стала равной правой стороне.

Исходное тождество: ctg²α - cos²α = ctg²α · cos²α

1. Начнем с левой стороны: ctg²α - cos²α

2. Вспомним определения тригонометрических функций: ctgα = 1 / tanα cos²α = 1 - sin²α

3. Заменим ctgα и cos²α в выражении: (1 / tanα)² - (1 - sin²α)

4. Упростим выражение: 1 / tan²α - 1 + sin²α

5. Воспользуемся тригонометрическим тождеством: 1 + cot²θ = csc²θ Тогда, 1 / tan²α = 1 + ctg²α

6. Заменим 1 / tan²α в исходном выражении: (1 + ctg²α) - 1 + sin²α

7. -1 уйдет вместе с плюсом из предыдущего шага: ctg²α + sin²α

8. Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1 Тогда, sin²α = 1 - cos²α

9. Заменим sin²α в выражении: ctg²α + (1 - cos²α)

10. Упростим: ctg²α + 1 - cos²α

Теперь у нас имеется следующее упрощенное выражение: ctg²α + 1 - cos²α.

Теперь сравним это с правой стороной тождества ctg²α · cos²α.

Правая сторона: ctg²α · cos²α

Так как мы вывели, что ctg²α + 1 - cos²α эквивалентно исходной левой стороне, то мы можем заменить ctg²α + 1 - cos²α на ctg²α · cos²α в выражении.

Таким образом, мы доказали исходное тождество: ctg²α - cos²α = ctg²α · cos²α.