Question

Упростить выражение: а) tg²α*ctg²α-cos²α; б) sin²α+cos²α+tg²α; в) (1-sinα)(1+sinα); г) cos²α-1/cos α sin α

Answer 1

Ответ:

а

${tg}^{2} \alpha \times {ctg}^{2} \alpha - { \cos }^{2} \alpha = \\ = \frac{1}{ {tg}^{2} \alpha } \times {tg}^{2} \alpha - { \cos }^{2} \alpha = \\ = 1 - { \cos }^{2} \alpha = { \sin}^{2} \alpha$

б

${ \sin }^{2} \alpha + { \cos }^{2} \alpha + {tg}^{2} \alpha = \\ = 1 + {tg}^{2} \alpha = 1 + \frac{ { \sin }^{2} \alpha }{ { \cos}^{2} \alpha } = \\ = \frac{ { \cos }^{2} \alpha + { \sin}^{2} \alpha }{ { \cos }^{2} \alpha } = \frac{1} { { \cos }^{2} \alpha }$

в

$(1 - \sin( \alpha ) )(1 + \sin( \alpha ) ) = \\ = {1}^{2} - { \sin }^{2} \alpha = { \cos }^{2} \alpha$

г

$\frac{{ \cos }^{2} \alpha - 1}{ \cos( \alpha ) \sin( \alpha ) } = \frac{ - \sin^{2}( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) \sin( \alpha ) } =\\=-\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=-tg(\alpha)$

Answer 2

Давайте упростим данные выражения:

а) $tg^2α \cdot ctg^2α - cos^2α$

Используем тригонометрические тождества:

$tg^2α \cdot ctg^2α = (sin^2α/cos^2α) \cdot (cos^2α/sin^2α) = 1$

Теперь у нас упрощается до:

$1 - cos^2α = sin^2α$

б) $sin^2α + cos^2α + tg^2α$

Используем тождество $sin^2α + cos^2α = 1$:

$1 + tg^2α$

в) $(1 - sinα)(1 + sinα)$

Используем разность квадратов:

$1 - sin^2α = cos^2α$

г) $\frac{cos^2α - 1}{cosα \cdot sinα}$

Используем тождество $cos^2α + sin^2α = 1$:

$\frac{- sin^2α}{cosα \cdot sinα} = \frac{- sinα}{cosα} = -tgα$