Question

Найдите общий вид первообразной для функции А)f(x)=1/✓2-x Б)f(x)=1/cos^2(п/3+2x) В)f(x)=1/✓x+2 +sin(2-x/4)

Answer 1

$1)\; \; F(x)=\int \frac{dx}{\sqrt{2-x}}=-2\sqrt{2-x}+C\\\\2)\; \; F(x)=\int \frac{dx}{cos^2(\frac{\pi}{3}+2x)}=\frac{1}{2}\cdot tg(\frac{\pi }{3}+2x)+C\\\\3)\; \; F(x)=\int (\, \frac{1}{\sqrt{x+2}}+sin(2-\frac{x}{4})\, )dx=2\sqrt{x+2}+4\, cos(2-\frac{x}{4})+C$

Answer 2

Для каждой из функций найдем их первообразные:

А) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2-x}}$

Для нахождения первообразной данной функции, проведем замену переменной. Пусть $u = 2 - x$, тогда $du = -dx$. Теперь выразим новую переменную $u$ из исходной: $u = 2 - x \Rightarrow x = 2 - u$.

Подставим замену в исходную функцию:

$\int f(x) dx = \int \frac{1}{\sqrt{2-x}} dx = -\int \frac{1}{\sqrt{u}} du = -2\sqrt{u} + C = -2\sqrt{2-x} + C$

где $C$ - произвольная константа интегрирования.

Б) $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{3} + 2x)}$

Для нахождения первообразной данной функции, используем тригонометрическую тождества:

$\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{3} + 2x$:

$\cos^2\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right)\right)}{2}$

$\cos^2\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right) = \frac{1 + \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 4x\right)}{2}$

Теперь, чтобы интегрировать функцию, заменим $\cos^2(\frac{\pi}{3} + 2x)$ в исходной функции:

$\int f(x) dx = \int \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{3} + 2x)} dx = 2\int \sec^2\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right) dx = 2\tan\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right) + C$

где $C$ - произвольная константа интегрирования.

В) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin\left(\frac{2-x}{4}\right)$

Для нахождения первообразной данной функции, выполним два отдельных интеграла:

1. Интеграл $\int \frac{1}{\sqrt{x+2}} dx$:

Для интегрирования первой части, проведем замену переменной. Пусть $u = x + 2$, тогда $du = dx$. Теперь выразим новую переменную $u$ из исходной: $u = x + 2 \Rightarrow x = u - 2$.

Подставим замену в первый интеграл:

0 0