Question

Пожалуйста! Решите уравнение f(|2x-5|)=f(|x-4|), если f(x) - убывающая.

Answer 1

Т. к. f(x) постоянно убывает, то одному значению y соответствует ровно одно значение x. Значит, достаточно решить уравнение $|2x-5|=|x-4|$, тем самым мы найдём x, при которых значения аргументов равны.

$2x-5=x-4; 2x-5=4-x\\x=1; 3x=9\\x=1;3$

Ответ: x = 1; 3

Answer 2

Для решения данного уравнения с убывающей функцией f(x) нам нужно найти значения x, при которых выполняется условие f(|2x-5|) = f(|x-4|).

Поскольку f(x) - убывающая функция, это означает, что при увеличении значения аргумента x, значения функции f(x) уменьшаются. Это нам пригодится при решении уравнения.

Давайте рассмотрим два случая, когда аргументы функций |2x-5| и |x-4| положительны и когда они отрицательны.

1. При аргументах положительных:

f(|2x - 5|) = f(|x - 4|)

Для этого случая мы можем просто раскрыть модули:

f(2x - 5) = f(x - 4)

Теперь, так как f(x) - убывающая функция, равенство f(2x - 5) = f(x - 4) возможно только тогда, когда 2x - 5 = x - 4. Решим это уравнение:

2x - 5 = x - 4 2x - x = -4 + 5 x = 1

2. При аргументах отрицательных:

f(|2x - 5|) = f(|x - 4|)

Опять раскрываем модули, но учитываем, что теперь оба аргумента отрицательны:

f(-(2x - 5)) = f(-(x - 4)) f(-2x + 5) = f(-x + 4)

Из убывающего характера функции f(x) следует, что равенство f(-2x + 5) = f(-x + 4) возможно, только если -2x + 5 = -x + 4. Решим это уравнение:

-2x + 5 = -x + 4 -2x + x = 4 - 5 -x = -1 x = 1

Таким образом, получаем единственное решение уравнения: x = 1. При этом значение функции f(|2x-5|) равно значению функции f(|x-4|) при данном x.