Question

Помогите решить задачу с вероятностью. Если можно, то с объяснением, почему она так решается. Есть 3 винтовки. Вероятность попадания из них: для первой 0,8, для второй 0,6, для третьей 0,4. Из наудачу взятой винтовки солдат попал в цель. Определить вероятности, что он стрелял из первой, второй, третьей винтовки.

Answer 1

Вероятность что он взял случайно первую винтовку 1/3, как и вторую или третью.

Но так как он выстрелил и попал, а винтовки разной "меткости", то тут вероятности меняются и усложняется подсчет.

вероятность выбрать N-ю винтовку и попасть из неё нужно разделить на сумму вероятностей попаданий всех трех:

из первой винтовки 0,8/(0,8+0,6+0,4)=4/9;

из второй винтовки 0,6/(0,8+0,6+0,4)=1/3;

из третей винтовки 0,4/(0,8+0,6+0,4)=2/9;

Проверка, если все возможные вероятности сложить, то должно быть 1(или 100%), то есть он 100% взял одну из них.

4/9+1/3+2/9=1;

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Байеса, которая позволяет пересчитать вероятности событий при условии, что произошло определенное наблюдение.

Обозначим события следующим образом:

• A1: солдат стрелял из первой винтовки.
• A2: солдат стрелял из второй винтовки.
• A3: солдат стрелял из третьей винтовки.
• B: солдат попал в цель.

Нам даны следующие вероятности:

• P(A1) = 0.8 (вероятность попадания из первой винтовки).
• P(A2) = 0.6 (вероятность попадания из второй винтовки).
• P(A3) = 0.4 (вероятность попадания из третьей винтовки).

Мы хотим определить вероятности P(A1|B), P(A2|B) и P(A3|B) – то есть вероятности того, что солдат стрелял из каждой винтовки при условии, что он попал в цель.

Теперь применим теорему Байеса:

P(Ai|B) = (P(B|Ai) * P(Ai)) / P(B),

где: P(B|Ai) – вероятность попадания в цель, если солдат стрелял из винтовки Ai. P(B) – общая вероятность попадания в цель (не зависит от конкретной винтовки).

Для расчета P(B) можем воспользоваться полной вероятностью, учитывая все возможные варианты, как солдат может попасть в цель:

P(B) = P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2) + P(B|A3) * P(A3).

P(B|A1) – вероятность попадания в цель, если солдат стрелял из первой винтовки. Так как P(A1) = 0.8, то P(B|A1) = 0.8. P(B|A2) – вероятность попадания в цель, если солдат стрелял из второй винтовки. Так как P(A2) = 0.6, то P(B|A2) = 0.6. P(B|A3) – вероятность попадания в цель, если солдат стрелял из третьей винтовки. Так как P(A3) = 0.4, то P(B|A3) = 0.4.

Теперь мы можем посчитать P(B):

P(B) = 0.8 * 0.8 + 0.6 * 0.6 + 0.4 * 0.4 = 0.64 + 0.36 + 0.16 = 1.16.

Теперь можем посчитать P(Ai|B):

P(A1|B) = (P(B|A1) * P(A1)) / P(B) = (0.8 * 0.8) / 1.16 ≈ 0.5517.

P(A2|B) = (P(B|A2) * P(A2)) / P(B) = (0.6 * 0.6) / 1.16 ≈ 0.3103.

P(A3|B) = (P(B|A3) * P(A3)) / P(B) = (0.4 * 0.4) / 1.16 ≈ 0.1379.

Таким образом, вероятности того, что солдат стрелял из первой, второй и третьей винтовок при условии попадания в цель, примерно равны 0.5517, 0.3103 и 0.1379 соответственно.