Question

Решите иррациональные неравенства V(x^2-x)>2V3 V(x+12)<x V(3x+1)>V(2-x) V-корень

Answer 1

Все три надо возвести в квадрат:

1)√(x^2-x)>2√3

ОДЗ: x^2-x≥0; x1≥0; -1≤x≤1;

x^2-x>4*3

x^2-x-12>0; x1=4; x2=-3;

x ∈ (-∞;-3)∪(4;∞);

2)√(x+12)<x

ОДЗ: x+12≥0; x≥-12; x≥0;

x+12<x^2

-x^2+x+12<0;

x1=4; x2=-3;

x ∈ (4;∞);

3)√(3x+1)>√(2-x)

ОДЗ: 3x+1≥0;x≥-1/3; 2-x≥0; x≤2;

3x+1>2-x

4x>1; x>1/4;

x ∈ (0,25;2]

Answer 2

Для решения иррациональных неравенств, нужно выяснить интервалы значений переменных, которые удовлетворяют данным неравенствам.

Посмотрим на каждое неравенство по отдельности:

1. $\sqrt{x^2-x} > 2\sqrt{3}$: Начнем с того, что внутри корня должно быть неотрицательное значение (чтобы корень был определен). Решим неравенство $x^2-x \geq 0$: $x^2 - x \geq 0$ \ $x(x-1) \geq 0$.

Таким образом, корни этого квадратного уравнения равны $x = 0$ и $x = 1$. Теперь, чтобы найти значения x, которые удовлетворяют исходному неравенству, проведем знаковый анализ на отрезках, образованных этими корнями и точками $x = 0$ и $x = 1$:

$$\begin{array}{c|ccc|c} & x<0 & 0 \leq x \leq 1 & x>1 & \\ \hline x^2-x & + & 0 & + & \\ \sqrt{x^2-x} & ? & 0 & ? & \\ \end{array}$$

Окончательно, наше исходное неравенство имеет решение $\boxed{0 < x \leq 1}$.

2. $\sqrt{x+12} < x$: Вновь, внутри корня должно быть неотрицательное значение, поэтому решим неравенство $x + 12 \geq 0$: $x + 12 \geq 0$.

Затем выполним знаковый анализ:

$$\begin{array}{c|cc|c} & x < -12 & x \geq -12 & \\ \hline \sqrt{x+12} & ? & ? & \\ x & ? & ? & \\ \end{array}$$

Наши исходное неравенство выполняется только на интервале $\boxed{-12 < x < 0}$.

3. $\sqrt{3x+1} > \sqrt{2-x}$: Решим неравенство $3x+1 \geq 0$: $3x+1 \geq 0$.

Теперь выполним знаковый анализ:

$$\begin{array}{c|cc|c} & x < -\frac{1}{3} & x \geq -\frac{1}{3} & \\ \hline \sqrt{3x+1} & ? & ? & \\ \sqrt{2-x} & ? & ? & \\ \end{array}$$

Заметим, что для $x \geq -\frac{1}{3}$ выполнено $\sqrt{3x+1} \geq 0$ и $\sqrt{2-x} \geq 0$. Таким образом, остается неравенство $\sqrt{3x+1} > \sqrt{2-x}$