Question

Доказать, что число 11n^3 + n делится на 6, при любом n, принадлежащему множеству натуральных чисел. Пожалуйста, подробно.

Answer 1

По методу математической индукции:
1) n=1,тогда 11+1=12-делится на 6
2)пусть n=k, тогда для всех k натуральных выполняется: 11k^3+k делится на 6. Докажем, что 11(k+1)^3 +k+1 делится на 6.
3) доказательство:
11*(k+1)^3+k+1= 11*(k^2+2k+1)*(k+1)+k+1=
11*(k^3+3*k^2+3*k+1)+k+1=
11*k^3+k+11*(3*k^2+3*k+1)+1=
(11*k^3+k)-делится на 6, тогда:
33*k^2+33*k+12=
33*k(k+1) +12
Так как k- натуральное, то минимальное значение произведения 33*k(k+1)=66-делится на 6
В итоге, так как для того что бы выражение 33*k(k+1) делилось на 6,необходимо,что бы при любом k произведение k*(k+1) было четно, что и выполняется. Тогда, сумма 33*k(k+1)+12 делится на 6,т.к все слагаемые делятся на 6
Ч. Т. Д.

Answer 2

Чтобы доказать, что число $11n^3 + n$ делится на 6 при любом $n$, принадлежащему множеству натуральных чисел, нужно показать, что оно является кратным 6. Другими словами, нужно доказать, что $11n^3 + n$ делится на 6 без остатка.

Для доказательства этого факта, воспользуемся методом математической индукции. Метод математической индукции позволяет доказать утверждение для всех натуральных чисел, начиная с некоторого базового значения $n$, и далее показывая, что если утверждение верно для некоторого $n$, то оно верно и для $n+1$.

Шаг 1: Базовый случай $n=1$

Подставим $n=1$ в выражение $11n^3 + n$ и убедимся, что оно делится на 6:

$11 \cdot 1^3 + 1 = 11 + 1 = 12$

12 делится на 6 без остатка (2 раза), так как $12 = 2 \cdot 6$. Таким образом, базовый случай $n=1$ верен.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что утверждение верно для некоторого $k$, т.е., предположим, что $11k^3 + k$ делится на 6 без остатка.

Шаг 3: Доказательство для $n=k+1$

Теперь докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, используя предположение индукции.

Подставим $n=k+1$ в выражение $11n^3 + n$:

$11(k+1)^3 + (k+1)$

Раскроем скобки:

$11(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + (k+1)$

Упростим выражение:

$11k^3 + 33k^2 + 33k + 11 + k + 1$

Теперь объединим все слагаемые:

$11k^3 + k + (33k^2 + 33k + 12)$

Заметим, что первое слагаемое $11k^3 + k$ уже делится на 6 без остатка, так как мы предположили это на шаге 2. Теперь остается рассмотреть второе слагаемое $33k^2 + 33k + 12$:

$33k^2 + 33k + 12 = 3(11k^2 + 11k + 4)$

Так как $11k^2 + 11k + 4$ является целым числом, то и $3(11k^2 + 11k + 4)$ делится на 3 без остатка.

Таким образом, оба слагаемых $11k^3 + k$ и $33k^2 + 33k + 12$ делятся на 6 без остатка. А значит, и $11(k+1)^3 + (k+1)$ делится на 6 без остатка.

Шаг 4: Заключение

Мы показали, что если утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то оно верно и для $k+1$. При базовом случае $n=1$ утверждение также верно. Таким образом, утверждение верно для всех натуральных чисел $n$.

Итак, доказано, что число $11n^3 + n$ делится на 6 при любом $n$, принадлежащему множеству натуральных чисел.