Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями : y= 1/x^6 X=1 X=2 y=0

Answer 1

S = ∫(1;2) dx/x^6 = -1/5x^5 (1;2) = -1/(5*2^5)+1/(5*1^5)= 31/160

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо определить область интегрирования и затем проинтегрировать функцию, которая определает границы фигуры.

Фигура ограничена следующими линиями:

1. График функции y = 1/x^6.
2. Вертикальной линией x = 1.
3. Вертикальной линией x = 2.
4. Осью x (т.е., графиком функции y = 0).

Для начала определим точки пересечения графика функции y = 1/x^6 с вертикальными линиями x = 1 и x = 2.

1. При x = 1: y = 1/1^6 = 1.

2. При x = 2: y = 1/2^6 = 1/64.

Теперь нам известны точки пересечения графика с осями x и точка пересечения вертикальных линий.

График функции y = 1/x^6 находится выше оси x в интервале (1, 2) и ниже оси x на интервалах (-∞, 1) и (2, +∞).

Таким образом, площадь фигуры ограничена графиками функций y = 1/x^6 и y = 0 на интервале [1, 2].

Теперь проинтегрируем функцию y = 1/x^6 по интервалу [1, 2] для вычисления площади фигуры:

S = ∫[1 to 2] (1/x^6) dx

Вычислим интеграл:

S = ∫(1/x^6) dx = ∫x^(-6) dx = (-1/5) * x^(-5) + C

Теперь найдем значение интеграла на интервале [1, 2]:

S = (-1/5) * (2^(-5)) - (-1/5) * (1^(-5)) S = (-1/5) * (1/32) - (-1/5) * 1 S = (-1/5) * (1/32 + 32/32) S = (-1/5) * (33/32) S = -33/160.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1/x^6, x = 1, x = 2 и y = 0, составляет -33/160 квадратных единиц. Знак минус указывает, что фигура находится ниже оси x и имеет отрицательную площадь. При вычислении площади фигуры, область "под" графиком функции и над осью x вычитается из области "над" графиком функции и под осью x.