Question

Обьясните, пожалуйста, как находить все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом в примере: (4n+7)/(2n-3)

Answer 1

n может быть равно 2, 8,

Answer 2

Для того чтобы выражение (4n+7)/(2n-3) давало целое число, числитель должен быть кратен знаменателю, т.е. остаток от деления числителя на знаменатель должен быть равен нулю.

Давайте найдем все натуральные значения n, при которых (4n+7)/(2n-3) - целое число:

1. Найдем остаток от деления числителя на знаменатель: Остаток = (4n + 7) % (2n - 3)

2. Поставим условие, что остаток должен быть равен нулю: (4n + 7) % (2n - 3) = 0

3. Решим уравнение: (4n + 7) % (2n - 3) = 0 Раскроем остаток: (4n + 7) - k(2n - 3) = 0, где k - это некоторое целое число, которое мы должны найти.

   Теперь решим уравнение для n: 4n + 7 - 2kn + 3k = 0 (4 - 2k)n = -7 + 3k n = (3k - 7)/(4 - 2k)

Теперь заметим, что чтобы n было натуральным числом, числитель дроби (3k - 7) должен быть делится на (4 - 2k), и знаменатель дроби не должен быть равен нулю (иначе получим деление на ноль).

Таким образом, все натуральные значения n будут соответствовать значениям k, при которых выполняются следующие условия:

1. 3k - 7 делится на (4 - 2k) без остатка.
2. 4 - 2k не равно нулю.

Исследуем это:

1. 4 - 2k ≠ 0 Решим уравнение: 4 - 2k = 0 2k = 4 k = 2

2. Подставим k = 2 в условие 3k - 7 должно делиться на (4 - 2k): 3(2) - 7 = -1, но -1 не делится на 0, так как деление на ноль невозможно.

Таким образом, уравнение (4n + 7)/(2n - 3) не имеет натуральных решений, при которых значение выражения будет целым числом.