Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции у=хе^x на отрезке [-2;0]

Answer 1

$y=xe^{x}\\\\y'=e^{x}+xe^{x}=e^{x}\cdot (1+x)=0\; \; \to \; \; x=-1\in [-2,0\, ]\; \; (e^{x}>0)\\\\znaki\; y':\; \; \; ---(-1)+++\\\\.\qquad \qquad \qquad \searrow \; (-1)\; \; \nearrow \\\\x_{min}=-1\; \; ,\; \; y(-1)=-e^{-1}=-\frac{1}{e}\approx -0,37\\\\y(-2)=-2e^{-2}=-\frac{2}{e^2}\approx -0,27\\\\y(0)=0\\\\y_{naimen}=y(-1)=-\frac{1}{e}\; ,\; \; y_{naibol}=y(0)=0$

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x e^x$ на отрезке $[-2; 0]$, нужно найти критические точки и граничные точки этого отрезка, а затем сравнить значения функции в этих точках.

1. Найдем критические точки, где производная функции равна нулю: $y = x e^x$

Производная: $y' = e^x + x e^x$

Приравниваем производную к нулю и решим уравнение: $0 = e^x + x e^x$

Вынесем общий множитель $e^x$: $e^x(1 + x) = 0$

Таким образом, имеем два решения: $e^x = 0$ (это невозможно, так как экспоненциальная функция никогда не обращается в ноль) $1 + x = 0 \Rightarrow x = -1$

2. Найдем значения функции в критической точке и на концах отрезка: $x = -2$: $y = (-2) e^{-2} \approx -0.2707$ $x = -1$: $y = (-1) e^{-1} \approx -0.3679$ $x = 0$: $y = 0$

3. Сравним полученные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее: Наименьшее значение: -0.3679 (происходит в критической точке $x = -1$) Наибольшее значение: 0 (происходит в граничной точке $x = 0$)

Итак, наименьшее значение функции $y = x e^x$ на отрезке $[-2; 0]$ равно приблизительно -0.3679, а наибольшее значение равно 0.