Question

Дано лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. найти общее решение

Answer 1

Характеристическое уравнение:

$\lambda^2+6=0\\\lambda=\pm\sqrt6i$

Значит, общее решение уравнения представляется в виде

$y=A\sin\sqrt6x+B\cos\sqrt6x$

Answer 2

Для того чтобы найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сперва записать уравнение, а затем найти его характеристическое уравнение и решить его.

Общий вид линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами выглядит так:

$ay'' + by' + cy = 0$

где $y''$ - это вторая производная функции $y$ по независимой переменной, $y'$ - это первая производная функции $y$ по независимой переменной, $a$, $b$ и $c$ - это постоянные коэффициенты, причем $a \neq 0$.

Шаги для нахождения общего решения:

1. Найдите характеристическое уравнение, заменив $y''$ на $\lambda^2$, а $y'$ на $\lambda$:

$a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$

2. Решите характеристическое уравнение, найдя значения $\lambda_1$ и $\lambda_2$ (возможно, с повторяющимися корнями или комплексными корнями).

3. Запишите общее решение уравнения в виде:

$y(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}$

где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные, а $\lambda_1$ и $\lambda_2$ - корни характеристического уравнения.

Если уравнение имеет только один корень $\lambda$ (кратности 2), то общее решение будет выглядеть так:

$y(t) = (C_1 + C_2t) e^{\lambda t}$

Теперь, если у вас есть конкретное уравнение с постоянными коэффициентами, вы можете применить эти шаги для нахождения его общего решения.