Question

Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, которое удовлетворяет приведенным начальным условиям. y''-2y'+y=9e^(-2x)+2x-4, y(0)=1, y'(0)=1.

Answer 1

1. Решение ОЛДУ:

$y ''- 2y' + y = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {k}^{2} - 2 k + 1 = 0 \\ {(k - 1)}^{2} = 0\\ k_1 = k_2 = 1 \\ y = C_1 {e}^{x} + C_2 {e}^{x} x$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$у = A {e}^{ - 2x} + Bx + C$

$у' = - 2Ae {}^{ - 2x} + B$

$у'' = 4Ae {}^{ - 2x}$

Подставляем в НЛДУ:

$4Ae {}^{ - 2x} + 4Ae {}^{ - 2x} - 2B+ Ae {}^{ - 2x} + Bx + C = 9 {e}^{ - 2x} + 2x - 4 \\ 9Ae {}^{ - 2x} + Bx - 2B+ C = 9 {e}^{ - 2x} + 2x - 4 \\ \\ \begin{cases}9A = 9& \\B= 2& \\ C - 2B= - 4\end{cases} \\ \\ \begin{cases}A= 1 & \\B = 2 & \\ C = - 4 + 4 = 0\end{cases}$

Получаем:

$у = {e}^{ - 2x} + 2x$

Общее решение:

$y = C_1{e}^{x} + C_2 {e}^{x} x + {e}^{ - 2x} + 2x$

$y(0) = 1,y'(0) = 1$

$y' = C_1{e}^{x} + C_2 {e}^{x} + C_2 e {}^{x} x - 2 {e}^{ - 2x} + 2$

$\left \{ {{1 = C_1 + 1 } \atop {1 = C_1 + C_2 - 2 + 2} } \right. \\ \\ \left \{ {{C_1 = 0} \atop {C_2 =1 } } \right.$

$y = {e}^{x} x + {e}^{ - 2x} + 2x$

частное решение

Answer 2

Для нахождения частного решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, мы используем метод вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородной части уравнения, а затем найдем частное решение неоднородной части.

Уравнение однородной части (y'' - 2y' + y = 0) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид:

y_h(x) = c₁e^x + c₂xe^x,

где c₁ и c₂ - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородной части уравнения (9e^(-2x) + 2x - 4) с использованием метода вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = Ae^(-2x) + Bx + C,

где A, B и C - постоянные, которые мы должны найти.

Теперь найдем производные:

y_p'(x) = -2Ae^(-2x) + B, y_p''(x) = 4Ae^(-2x).

Подставим частное решение и его производные в исходное уравнение:

4Ae^(-2x) - 2(-2Ae^(-2x) + B) + Ae^(-2x) + Bx + C = 9e^(-2x) + 2x - 4.

Упростим уравнение:

4Ae^(-2x) + 4Ae^(-2x) - 2B + Ae^(-2x) + Bx + C = 9e^(-2x) + 2x - 4.

Теперь сгруппируем члены с экспонентами и члены без экспонент:

(4Ae^(-2x) + Ae^(-2x)) + Bx - 2B + C = 9e^(-2x) + 2x - 4.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях экспоненты и x, получаем систему уравнений:

5A = 9, (коэффициент при e^(-2x)) B = 2, (коэффициент при x) -2B + C = -4.

Из первого уравнения получаем:

A = 9/5.

Из второго уравнения:

B = 2.

Из третьего уравнения:

-2(2) + C = -4, -4 + C = -4, C = 0.

Теперь у нас есть значения A, B и C. Подставляя их обратно в частное решение, получаем:

y_p(x) = (9/5)e^(-2x) + 2x.

Теперь общее решение неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c₁e^x + c₂xe^x + (9/5)e^(-2x) + 2x.

Теперь используем начальные условия, чтобы найти конкретные значения постоянных c₁ и c₂:

y(0) = c₁e^0 + c₂(0)e^0 + (9/5)e^0 + 2(0) = c₁ + 0 + 9/5 + 0 = c₁ + 9/5 = 1.

Отсюда находим c₁:

c₁ = 1 - 9/5, c₁ = 5/5 - 9/5, c₁ = -4/5.

Теперь найдем производную y'(x):

y'(x) = c₁e^x + c₂(1)e^x - (18/5)e^(-2x) + 2.

y'(0) = c₁e^0 + c₂(1)e^0 - (18/5)e^0 + 2 = c₁ + c₂ - (18/5) + 2 = c₁ + c₂ - 8/5 = 1.

Теперь находим c₂:

c₁ + c₂ - 8/5 = 1, -4/5 + c₂ - 8/5 = 1, c₂ - 12/5 = 1, c₂ = 1 + 12/5, c₂ = 17/5.

Таким образом, найденные значения постоянных c₁ и c₂:

c₁ = -4/5, c₂ = 17/5.

Итак, частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, имеет вид:

y(x) = (-4/5)e^x + (17/5)xe^x + (9/5)e^(-2x) + 2x.