Question

Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами: у//+3у/ +2у = 0 пошаговое решение пж

Answer 1

Ответ:

$y ''+ 3y '+ 2y = 0$

замена:

$y = {e}^{kx} \\ y' = k{e}^{kx} \\ y'' = k ^{2} {e}^{kx}$

$k ^{2} {e}^{kx} + 3 k{e}^{kx} + 2 {e}^{kx} = 0 \\ {e}^{kx} (k ^{2} + 3k + 2) = 0 \\ D = 9 - 8 = 1 \\ k1 = \frac{ - 3 + 1}{2} = - 1 \\ k2 = - 2 \\ y = C1 {e}^{ - x} + C2 {e}^{ - 2x}$

общее решение

Answer 2

Для поиска общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, вам понадобится характеристическое уравнение. Уравнение, которое дано вам, имеет вид:

y'' + 3y' + 2y = 0

Сначала мы найдем характеристическое уравнение, заменяя производные на соответствующие символы:

r^2 + 3r + 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем факторизовать его:

(r + 2)(r + 1) = 0

Таким образом, у нас есть два корня:

r1 = -2 r2 = -1

Теперь, когда у нас есть корни характеристического уравнения, общее решение однородного уравнения можно записать следующим образом:

y(t) = C1 * e^(-2t) + C2 * e^(-t)

где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые зависят от начальных условий или других факторов.

Это общее решение уравнения y'' + 3y' + 2y = 0 с постоянными коэффициентами.