Question

При каком значении m функция y=x2+(m+2)x+5-2m имеет 2 корня разных занков

Answer 1

Вспомним теорему Виета.

Пусть у нас есть уравнение: x² + px + q = 0.

Тогда будут выполняться следующие равенства:

1) x₁ + x₂ = -p,

2) x₁ * x₂ = q.

Заметим, что для наличия разных знаков у корней нужно, чтобы q было отрицательным, т. к. произведение двух положительных и двух отрицательных чисел даст нам положительное q.

Таким образом, получаем неравенство.

$5 - 2m < 0;\\2m > 5;\\m > \frac{5}{2};\\m > 2,5.$

Ответ: m > 2,5.

Answer 2

Чтобы у функции было два разных корня, дискриминант (D) должен быть больше нуля. Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В данном случае функция имеет вид y = x^2 + (m + 2)x + 5 - 2m.

Сравним эту функцию с общим видом квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0:

a = 1 (коэффициент перед x^2) b = (m + 2) (коэффициент перед x) c = 5 - 2m (свободный член)

Теперь вычислим дискриминант D:

D = b^2 - 4ac D = (m + 2)^2 - 4 * 1 * (5 - 2m) D = m^2 + 4m + 4 - 20 + 8m D = m^2 + 12m - 16

Теперь условие, при котором функция имеет два различных корня: D > 0.

m^2 + 12m - 16 > 0

Для определения диапазона значений m, при которых выполняется неравенство, решим его.

m^2 + 12m - 16 > 0 (m + 14)(m - 2) > 0

Здесь у нас есть произведение двух множителей, и нам нужно найти интервалы значений m, где это произведение больше нуля. Такое происходит в двух случаях:

1. Оба множителя положительны: (m + 14) > 0 и (m - 2) > 0 Это выполняется, когда m > -14 и m > 2, но т.к. нас интересуют пересекающиеся значения, то берем только m > 2.

2. Оба множителя отрицательны: (m + 14) < 0 и (m - 2) < 0 Это выполняется, когда m < -14 и m < 2, но опять же нас интересуют пересекающиеся значения, поэтому берем только m < -14.

Таким образом, для того чтобы функция имела два различных корня, необходимо, чтобы m было вне интервала (-14, 2). В любых других значениях m уравнение будет иметь либо один корень (если D = 0) или не иметь вещественных корней (если D < 0).